四年级数学思维训练-智取火柴

　　编者的话：这道试题是由知名数学教师总结出来的四年级奥数题型的一个具有代表性的试题，供大家参考，希望对大家有所帮助!

　　四年级奥数基础第二十五讲：智取火柴

　　在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。

　　例1桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜?

　　分析与解：本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根;往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根;再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。

　　在例1中为什么一定要留给对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其它倍数根呢?关键在于规定每次只能取1～3根，1+3=4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例1的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。

　　例2在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样?

　　分析与解：由例1的分析知，只要始终留给对方(1+6=)7的倍数根火柴，就一定获胜。因为60÷7=8……4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜。

　　由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下(1+n)的倍数根火柴，谁将获胜。

　　例3将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何?

　　分析与解：最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根(57除以4余1)，以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜。

　　由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下(1+n)的倍数加1根火柴，谁将获胜。

　　有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。

　　例4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数?怎样才能获胜?

　　分析与解：对照例1、例2可以看出，本例是取火柴游戏的变形。因为50÷(1+5)=8……2，所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩下48个数是(1+5=)6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必胜。