中考数学模拟试题及答案
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学性的学科
模拟试卷
一.选择题(共10小题，满分30分)
1.|1﹣ |=( )
A.1﹣ B. ﹣1 C.1+ D.﹣1﹣
2.工信部发布《中国数字经济发展与就业白皮书(2018)》)显示，2017年湖北数字经济总量1.21万亿元，列全国第七位、中部第一位.“1.21万”用科学记数法表示为( )
A.1.21×103 B.12.1×103 C.1.21×104 D.0.121×105
3. 下列运算正确的是( )
A.m6÷m2=m3 B.(x+1)2=x2+1 C.(3m2)3=9m6 D.2a3•a4=2a7
4.在下列四个标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于( )
A.132° B.134° C.136° D.138°
6.如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是( )
A. B.
C. D.
7.解分式方程 + =3时，去分母后变形正确的是( )
A.2+(x+2)=3(x﹣1) B.2﹣x+2=3(x﹣1)
C.2﹣(x+2)=3 D.2﹣(x+2 )=3(x﹣1)
8.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是( )(结果保留小数点后两位)(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)
A.4.64海里 B.5.49海里 C.6.12海里 D.6.21海里
9.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是( )
A.y= B.y= C.y=3x+2 D.y=x2﹣3
10.如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCD是平行四边形，则∠ADB的大小为( )
A.60° B.45° C.30° D.25°
二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)
11.若x=2是方程8﹣2x=ax的解，则a= .
12.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则黄球的个数为 .
13.函数y= 的自变量x的取值范围为 .
14.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则BC= cm
15.如图， AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO与⊙O 交与点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A=30°，OA=2，则图中阴影部分的面积为 .
16.矩形纸片ABCD， AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3.将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为 .
三.解答题(共9小题，满分72分)
17.(6分)如果(y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2=(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2.
求 的值.
18.(6分)某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价(元/千克) 售价(元/千克)
甲种 5 8
乙种 9 13
(1)这两种水果各购进多少千克?
(2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元?
19.(6分)在今年“五•一”小长假期间，某学校团委要求学生参加一项社会调查活动，八年级学生小明想了解他所居住的小区500户居民的家庭收入情况，从中随机调查了本小区一定数量居民家庭的收入情况(收入取整数，单位：元)，并将调查的数据绘制成如下直方图和扇形图，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)这次共调查了 个家庭的收入，a= ，b= ;
(2)补全频数分布直方图，样本的中位数落在第 个小组;
(3)请你估计该居民小区家庭收入较低(不足1000元)的户数大约有多少户?
(4)在第1组和第5组的家庭中，随机抽取2户家庭，求这两户家庭人均月收入差距不超过200元的概率.
20.(6分)如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N.
(1)求证 ：四边形BMDN是平行四边形;
(2)已知AF=12，EM=5，求AN的长.
21.(7分)如图，直线y=kx+ 2与x轴，y轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与反比例函数y= 的图象在第一象限内交于点C(1，n).
(1)求一次函数y=kx+2与反比例函数y= 的表达式;
(2)过x轴上的点D(a，0)作平行于y轴的直线l(a>1)，分别与直线y=kx+2和双曲线y= 交于P、Q两点，且PQ=2QD，求点D的坐标.
22.( 7分)如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE.
(1)求证：直线PD是⊙A的切线;
(2)若PC=2 ，sin∠P= ，求图中阴影部份的面积(结果保留无理数).
23.(10分)某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，解答下列问题：
(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围;
(2)当降价多少元时 ，每星期的利润最大?最大利润是多少?
24.(11分)正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.
(1)如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ;
(2)如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立?若成立给出证明;若不成立，说明理由;
(3)如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值.
25.(13分)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;
(2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC?如果存在，求出点M的坐标;如果不存在，请说明理由.
模拟试卷答案
一.选择题
1.B.
2.C.
3.D.
4.C.
5.B.
6.A.
7.D.
8.B.
9.B.
10.C.
二.填空题
11.2.
12.4.
13.x≤3.
14. .
15. ﹣ .
16.6 或2 .
三.解答题
17.解：∵(y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2=(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2.
∴(y﹣z)2﹣(y+z﹣2x)2+(x﹣y)2﹣(x+y﹣2z)2+(z﹣x)2﹣(z+x﹣2y)2=0，
∴(y﹣z+y+z﹣2x)(y﹣z﹣y﹣z+2x)+(x﹣y+x+y﹣2z)(x﹣y﹣x﹣y+2z)+(z﹣x+z+x﹣2y)(z﹣x﹣z﹣x+2y)=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴(x﹣y)2+(x﹣z)2+(y﹣z)2=0.
∵x，y，z均为实数，
∴x=y=z.
∴ = =1.
18.解：(1)设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果(140﹣x)千克，根据题意得：
5x+9(140﹣x)=1000，
解得：x=65，
∴140﹣x=75.
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克;
(2)3×65+4×75=495(元)
答：利润为495元.
19.解：(1)2÷5%=40(个)，所以这次共调查了40个家庭;]
a=6÷40=15%，
第三组的家庭个数=40×45%=18(个)，
b=(40﹣2﹣6﹣18﹣9﹣2)÷40=7.5%，
(2)第20个数和第21个数都落在第三组，所以样本的中位数落在第三个小组，
如图，
故答案为40，15%，7.5%;三;
(3)500×(5%+15%)=100(户)，
所以估计该居民小区家庭收入较低(不足1000元)的户数大约有100户;
(4)设第1组的2户用A、B表示，第5组的3户用a、b、c表示，
画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中这两户家庭人均月收入差距不超过200元的结果数为8，
所以这两户家庭人均月收入差距不超过200元的概率= = .
20.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形;
(2)解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM=BN，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，
∵∠CEM=∠AFN=90 °，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN=EM=5，
在Rt△AFN中，AN= = =13.
21.解：(1)把A(﹣1，0)代入y=kx+2得﹣k+2=0，解得k=2，
∴一次函数解析式为y=2x+2;
把C(1，n)代 入y=2x+2得n=4，
∴C(1，4)，
把C(1，4)代入y= 得m=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y= ;
(2)∵PD∥y轴，
而D(a，0)，
∴P(a，2 a+2)，Q(a， )，
∵PQ=2QD，
∴2a+2﹣ =2× ，
整理得a2+a﹣6=0，解得a1=2，a2=﹣3(舍去)，
∴D(2，0).
22.解：(1)证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，
∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，
又∵PD=BC，
∴AD=PD，
∴△ADH≌△DPC，
∴AH=CD.
∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，
∴AH=AB，即AH是⊙A的半径，
∴PD是⊙A的切线.
(2)如图，在Rt△PDC中，sin∠P= = ，PC=2 ，
令CD=2x，PD=3x，由勾股定理得：(3x)2﹣(2x)2=(2 )2.
解得：x=2，
∴CD=4，PD=6，
∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，
∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为 ×4×2=4，
扇形ABE的面积为 π×42=4π.
∴图中阴影部份的面积为24﹣4﹣4π=20﹣4π.
23.解：(1)根据题意得y=(70﹣x﹣50)(300+20x)=﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50>0，且x≥0，
∴0≤x<20;
(2)∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20(x﹣ )2+6125，
∴当x= 时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.
24.
解：(1)如图1，连接BE， ，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵点E是DC的中点，DE=DF，
∴点F是AD的中点，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB= BC，
∴CH=AB.
故答案为：CH=AB.
(2)当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论CH=A B仍然成立.
如图2，连接BE， ，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵AD=CD，DE=DF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB.
(3)如图3， ，
∵CK≤AC+AK，
∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，
∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，
∴∠KDF=∠HDE，
∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，
∠DFK+∠DFH=180°，
∴∠DFK=∠DEH，
在△DFK和△DEH中，
∴△DFK≌△DEH，
∴DK=DH，
在△DAK和△DCH中，
∴△DAK≌△DCH，
∴AK=CH
又∵CH=AB，
∴AK=CH=AB，
∵AB=3，
∴AK=3，AC=3 ，
∴CK=AC+AK=AC+AB= ，
即线段CK长的最大值是 .
25.解：(1)∵OA=1，OB=3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0).
代入y=﹣x2+bx+c，得
解得 b=2，c=3.
∴抛物线对应二次函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3;
(2)如图，设直线CD切⊙P于点E.连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F.
∴PE⊥CD，PE=PA.
由y=﹣x2+2x+3，得
对称轴为直线x=1，C(0，3)、D(1，4).
∴DF=4﹣3=1，CF=1，
∴DF=CF，
∴△DCF为等腰直角三角形.
∴∠CDF=45°，
∴∠EDP=∠EPD=45°，
∴DE=EP，
∴△DEP为等腰三角形.
设P(1，m)，
∴EP2= (4﹣m)2.
在△APQ中，∠PQA=90°，
∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2
∴ (4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2.
整理，得m2+8m﹣8=0
解得，m=﹣4±2 .
∴点P的坐标为(1，﹣4+2 )或(1，﹣4﹣2 ).
(3)存在点M，使得△DCM∽△BQC.
如图，连结CQ、CB、CM，
∵C(0，3)，OB=3，∠COB=90°，
∴△COB为等腰直角三角形，
∴∠CBQ=45°，BC=3 .
由(2)可知，∠CDM=45°，CD= ，
∴∠CBQ=∠CDM.
∴△DCM∽△BQC分两种情况.
当 = 时，
∴ = ，解得 DM= .
∴QM=DQ﹣DM=4﹣ = .
∴M1(1， ).
当 时，
∴ = ，解得 DM=3.
∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1.
∴M2(1，1).
综上，点M的坐标为(1， )或(1，1).
