中考数学试卷及答案
数学是人类探究世界，研究自然界任何事物的一切核心。
中考数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项符合题目要求。
1.(3.00 分) 的值是( )
A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3
2.(3.00 分)为贯彻落实觉中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部 署，教育部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍 186000000 平方米，其中 数据 186000000 用科学记数法表示是( )
A.1.86×107 B.186×106 C.1.86×108 D.0.186×109
3.(3.00 分)下列运算正确的是( )
A.a8÷a4=a2 B.(a2)2=a4 C.a2•a3=a6 D.a2+a2=2a4
4.(3.00 分)如图，点 B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD=130°，则∠BOD 的度数是
( )
A.50° B.60° C.80° D.100°
5.(3.00 分)多项式 4a﹣a3 分解因式的结果是( )
A.a(4﹣a2) B.a(2﹣a)(2+a) C.a(a﹣2)(a+2) D.a(2﹣a)2
6.(3.00 分)如图，在平面直角坐标系中，点 A，C 在 x 轴上，点 C 的坐标为(﹣
1，0)，AC=2.将 Rt△ABC 先绕点 C 顺时针旋转 90°，再向右平移 3 个单位长度， 则变换后点 A 的对应点坐标是( )
A.(2，2) B.(1，2) C.(﹣1，2) D.(2，﹣1)
7.(3.00 分)在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为 7，5，3，
5，10，则关于这组数据的说法不正确的是( )
A.众数是 5 B.中位数是 5 C.平均数是 6 D.方差是 3.6
8.(3.00 分)如图，在五边形 ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP 分别平分
∠EDC、∠BCD，则∠P=( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
9.(3.00 分)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A.24+2π B.16+4π C.16+8π D.16+12π
10.(3.00 分)如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，
适合填补图中空白处的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11.(3.00 分)若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 .
12.(3.00 分)在平面直角坐标系中，已知一次函数 y=﹣2x+1 的图象经过 P1(x1，
y1)、P2(x2，y2)两点，若 x1”“<”“=”)
13.(3.00 分)在△ABC 中，点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点，点 D 在 BC 边上， 连接 DE，DF，EF，请你添加一个条件 ，使△BED 与△FDE 全等.
14.(3.00 分)如图，在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A，B 两个观测站，B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60°的方向上，从 B 站测得船 C 在北偏东 30°的方向上，则船 C 到海岸线 l 的距离是 km.
15.(3.00 分)如图，点 A 是反比例函数 y= (x>0)图象上一点，直线 y=kx+b
过点 A 并且与两坐标轴分别交于点 B，C，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，连接
DC，若△BOC 的面积是 4，则△DOC 的面积是 .
三、解答题：本大题共 7 小题，共 55 分。
16.(6.00 分)化简：(y+2)(y﹣2)﹣(y﹣1)(y+5)
17.(7.00 分)某校开展研学旅行活动，准备去的研学基地有 A(曲阜)、B(梁 山)、C(汶上)，D(泗水)，每位学生只能选去一个地方，王老师对本全体同学 选取的研学基地情况进行调查统计，绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
(1)求该班的总入数，并补全条形统计图.
(2)求 D(泗水)所在扇形的圆心角度数;
(3)该班班委 4 人中，1 人选去曲阜，2 人选去梁山，1 人选去汶上，王老师要 从这 4 人中随机抽取 2 人了解他们对研学基地的看法，请你用列表或画树状图的 方法，求所抽取的 2 人中恰好有 1 人选去曲阜，1 人选去梁山的概率.
18.(7.00 分)在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛(如图所示)
面积的方法，现有以下工具;①卷尺;②直棒 EF;③T 型尺(CD 所在的直线垂 直平分线段 AB).
(1)在图 1 中，请你画出用 T 形尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹，不写 画法);
(2)如图 2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积， 具体做法如下：
将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 M，N 之间的距离， 就可求出环形花坛的面积”如果测得 MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积.
19.(7.00 分)“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B 两村准备各自
清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄 清理养鱼网箱人
数/人 清理捕鱼网箱人
数/人 总支出/元
A 15 9 57000
B 10 16 68000
(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的
人均支出费用各是多少元;
(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调 40 人共同清理 养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网箱人数小于 清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案?
20.(8.00 分)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连
接 DF，过点 E 作 EH⊥DF，垂足为 H，EH 的延长线交 DC 于点 G.
(1)猜想 DG 与 CF 的数量关系，并证明你的结论;
(2)过点 H 作 MN∥CD，分别交 AD，BC 于点 M，N，若正方形 ABCD 的边长为
10，点 P 是 MN 上一点，求△PDC 周长的最小值.
21.(9.00 分)知识背景
当 a>0 且 x>0 时，因为( )2≥0，所以 x﹣2 + ≥0，从而 x+ (当 x= 时取等号).
设函数 y=x+ (a>0，x>0)，由上述结论可知：当 x= 时，该函数有最小值为
2 .
应用举例
已知函数为 y1=x(x>0)与函数 y2= (x>0)，则当 x= =2 时，y1+y2=x+ 有最 小值为 2 =4.
解决问题
(1)已知函数为 y1=x+3(x>﹣3)与函数 y2=(x+3)2+9(x>﹣3)，当 x 取何
值时， 有最小值?最小值是多少?
(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共
490 元;二是设备的租赁使用费用，每天 200 元;三是设备的折旧费用，它与使 用天数的平方成正比，比例系数为 0.001.若设该设备的租赁使用天数为 x 天， 则当 x 取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低?最低是多少元?
22.(11.00 分)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 A(3，0)，B(﹣
1，0)，C(0，﹣3).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标;
(3)若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的 四边形是平行四边形?若存在，求点 P 的坐标;若不存在，请说明理由.
中考数学试卷答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项符合题目要求。
1.(3.00 分) 的值是( )
A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3
【解答】
解： =-1. 故选：B.
2.(3.00 分)为贯彻落实觉中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部 署，教育部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍 186000000 平方米，其中 数据 186000000 用科学记数法表示是( )
A.1.86×107 B.186×106 C.1.86×108 D.0.186×109
【解答】解：将 186000000 用科学记数法表示为：1.86×108. 故选：C.
3.(3.00 分)下列运算正确的是( )
A.a8÷a4=a2 B.(a2)2=a4 C.a2•a3=a6 D.a2+a2=2a4
【解答】解：A、a8÷a6=a4，故此选项错误;
B、(a2)2=a4，故原题计算正确; C、a2•a3=a5，故此选项错误; D、a2+a2=2a2，故此选项错误; 故选：B.
4.(3.00 分)如图，点 B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD=130°，则∠BOD 的度数是
( )
A.50° B.60° C.80° D.100°
【解答】解：圆上取一点 A，连接 AB，AD，
∵点 A、B，C，D 在⊙O 上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°， 故选：D.
5.(3.00 分)多项式 4a﹣a3 分解因式的结果是( )
A.a(4﹣a2) B.a(2﹣a)(2+a) C.a(a﹣2)(a+2) D.a(2﹣a)2
【解答】解：4a﹣a3
=a(4﹣a2)
=a(2﹣a)(2+a). 故选：B.
6.(3.00 分)如图，在平面直角坐标系中，点 A，C 在 x 轴上，点 C 的坐标为(﹣
1，0)，AC=2.将 Rt△ABC 先绕点 C 顺时针旋转 90°，再向右平移 3 个单位长度， 则变换后点 A 的对应点坐标是( )
A.(2，2) B.(1，2) C.(﹣1，2) D.(2，﹣1)
【解答】解：∵点 C 的坐标为(﹣1，0)，AC=2，
∴点 A 的坐标为(﹣3，0)，
如图所示，将 Rt△ABC 先绕点 C 顺时针旋转 90°， 则点 A′的坐标为(﹣1，2)，
再向右平移 3 个单位长度，则变换后点 A′的对应点坐标为(2，2)， 故选：A.
7.(3.00 分)在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为 7，5，3，
5，10，则关于这组数据的说法不正确的是( )
A.众数是 5 B.中位数是 5 C.平均数是 6 D.方差是 3.6
【解答】解：A、数据中 5 出现 2 次，所以众数为 5，此选项正确; B、数据重新排列为 3、5、5、7、10，则中位数为 5，此选项正确; C、平均数为(7+5+3+5+10)÷5=6，此选项正确; D、方差为 ×[(7﹣6)2+(5﹣6)2×2+(3﹣6)2+(10﹣6)2]=5.6，此选项
错误;
故选：D.
8.(3.00 分)如图，在五边形 ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP 分别平分
∠EDC、∠BCD，则∠P=( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
【解答】解：∵在五边形 ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠ECD+∠BCD=240°，
又∵DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD=120°，
∴△CDP 中，∠P=180°﹣(∠PDC+∠PCD)=180°﹣120°=60°. 故选：C.
9.(3.00 分)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A.24+2π B.16+4π C.16+8π D.16+12π
【解答】解：该几何体的表面积为 2× •π•22+4×4+ ×2π•2×4=12π+16， 故选：D.
10.(3.00 分)如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为 10， 符合此要求的只有
故选：C.
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11 3.00 分)若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x≥1 .
【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0， 解得 x≥1. 故答案为：x≥1.
12.(3.00 分)在平面直角坐标系中，已知一次函数 y=﹣2x+1 的图象经过 P1(x1，
y1)、P2(x2，y2)两点，若 x1 y2.(填“>”“<”“=”)
【解答】解：∵一次函数 y=﹣2x+1 中 k=﹣2<0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵x1
∴y1>y2. 故答案为：>.
13.(3.00 分)在△ABC 中，点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点，点 D 在 BC 边上， 连接 DE，DF，EF，请你添加一个条件 D 是 BC 的中点 ，使△BED 与△FDE 全
等.
【解答】解：当 D 是 BC 的中点时，△BED≌△FDE，
∵E，F 分别是边 AB，AC 的中点，
∴EF∥BC，
当 E，D 分别是边 AB，BC 的中点时，ED∥AC，
∴四边形 BEFD 是平行四边形，
∴△BED≌△FDE， 故答案为：D 是 BC 的中点.
14.(3.00 分)如图，在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A，B 两个观测站，B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60°的方向上，从 B 站测得船 C 在北偏东 30°的方向上，则船 C 到海岸线 l 的距离是 km.
【解答】解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 根据题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=2km，
在 Rt△CBD 中，CD=BC•sin60°=2× = (km). 故答案为： .
15.(3.00 分)如图，点 A 是反比例函数 y= (x>0)图象上一点，直线 y=kx+b
过点 A 并且与两坐标轴分别交于点 B，C，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，连接
DC，若△BOC 的面积是 4，则△DOC 的面积是 2 ﹣2 .
【解答】解：设 A(a， )(a>0)，
∴AD= ，OD=a，
∵直线 y=kx+b 过点 A 并且与两坐标轴分别交于点 B，C，
∴C(0，b)，B(﹣ ，0)，
∵△BOC 的面积是 4，
∴S△BOC= OB×OC= × ×b=4，
∴b2=8k，
∴k= ①
∴AD⊥x 轴，
∴OC∥AD，
∴△BOC∽△BDA，
∴ ，
∴ ，
∴a2k+ab=4②， 联立①②得，ab=﹣4﹣4 (舍)或 ab=4 ﹣4，
∴S△DOC= OD•OC= ab=2 ﹣2
故答案为 2 ﹣2.
三、解答题：本大题共 7 小题，共 55 分。
16.(6.00 分)化简：(y+2)(y﹣2)﹣(y﹣1)(y+5)
【解答】解：原式=y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5=﹣4y+1，
17.(7.00 分)某校开展研学旅行活动，准备去的研学基地有 A(曲阜)、B(梁 山)、C(汶上)，D(泗水)，每位学生只能选去一个地方，王老师对本全体同学 选取的研学基地情况进行调查统计，绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
(1)求该班的总入数，并补全条形统计图.
(2)求 D(泗水)所在扇形的圆心角度数;
(3)该班班委 4 人中，1 人选去曲阜，2 人选去梁山，1 人选去汶上，王老师要 从这 4 人中随机抽取 2 人了解他们对研学基地的看法，请你用列表或画树状图的 方法，求所抽取的 2 人中恰好有 1 人选去曲阜，1 人选去梁山的概率.
【解答】解：(1)该班的人数为 =50 人， 则 B 基地的人数为 50×24%=12 人， 补全图形如下：
(2)D(泗水)所在扇形的圆心角度数为 360°× =100.8°;
(3)画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中所抽取的 2 人中恰好有 1 人选去曲阜，1 人选 去梁山的占 4 种，
所以所抽取的 2 人中恰好有 1 人选去曲阜，1 人选去梁山的概率为 = .
18.(7.00 分)在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛(如图所示) 面积的方法，现有以下工具;①卷尺;②直棒 EF;③T 型尺(CD 所在的直线垂 直平分线段 AB).
(1)在图 1 中，请你画出用 T 形尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹，不写 画法);
(2)如图 2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积， 具体做法如下：
将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 M，N 之间的距离， 就可求出环形花坛的面积”如果测得 MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积.
【解答】解：(1)如图点 O 即为所求;
(2)设切点为 C，连接 OM，OC.
∵MN 是切线，
∴OC⊥MN，
∴CM=CN=5，
∴OM2﹣OC2=CM2=25，
∴S 圆环=π•OM2﹣π•OC2=25π.
19.(7.00 分)“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B 两村准备各自 清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄 清理养鱼网箱人
数/人 清理捕鱼网箱人
数/人 总支出/元
A 15 9 57000
B 10 16 68000
(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的
人均支出费用各是多少元;
(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调 40 人共同清理
养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网箱人数小于 清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案?
【解答】解：(1)设清理养鱼网箱的人均费用为 x 元，清理捕鱼网箱的人均费用 为 y 元，
根据题意，得： ， 解得： ，
答：清理养鱼网箱的人均费用为 2000 元，清理捕鱼网箱的人均费用为 3000 元;
(2)设 m 人清理养鱼网箱，则(40﹣m)人清理捕鱼网箱， 根据题意，得： ，
解得：18≤m<20，
∵m 为整数，
∴m=18 或 m=19， 则分配清理人员方案有两种：
方案一：18 人清理养鱼网箱，22 人清理捕鱼网箱; 方案二：19 人清理养鱼网箱，21 人清理捕鱼网箱.
20.(8.00 分)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连 接 DF，过点 E 作 EH⊥DF，垂足为 H，EH 的延长线交 DC 于点 G.
(1)猜想 DG 与 CF 的数量关系，并证明你的结论;
(2)过点 H 作 MN∥CD，分别交 AD，BC 于点 M，N，若正方形 ABCD 的边长为
10，点 P 是 MN 上一点，求△PDC 周长的最小值.
【解答】解：(1)结论：CF=2DG.
理由：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴ = = ，
∴CF=2DG.
(2)作点 C 关于 NM 的对称点 K，连接 DK 交 MN 于点 P，连接 PC，此时△PDC 的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK. 由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，EG= ，DH= = ，
∴EH=2DH=2 ，
∴HM= =2，
∴DM=CN=NK= =1，
在 Rt△DCK 中，DK= = =2 ，
∴△PCD 的周长的最小值为 10+2 .
21.(9.00 分)知识背景
当 a>0 且 x>0 时，因为( ﹣ )2≥0，所以 x﹣2 + ≥0，从而 x+
(当 x= 时取等号).
设函数 y=x+ (a>0，x>0)，由上述结论可知：当 x= 时，该函数有最小值为
2 . 应用举例
已知函数为 y1=x(x>0)与函数 y2= (x>0)，则当 x= =2 时，y1+y2=x+ 有最 小值为 2 =4.
解决问题
(1)已知函数为 y1=x+3(x>﹣3)与函数 y2=(x+3)2+9(x>﹣3)，当 x 取何
值时， 有最小值?最小值是多少?
(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共
490 元;二是设备的租赁使用费用，每天 200 元;三是设备的折旧费用，它与使 用天数的平方成正比，比例系数为 0.001.若设该设备的租赁使用天数为 x 天， 则当 x 取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低?最低是多少元?
【解答】解：(1) = =(x+3)+ ，
∴当 x+3= 时， 有最小值，
∴x=0 或﹣6(舍弃)时，有最小值=6.
(2)设该设备平均每天的租货使用成本为 w 元. 则 w= = +0.001x+200，
∴当 =0.001x 时，w 有最小值，
∴x=700 或﹣700(舍弃)时，w 有最小值，最小值=201.4 元.
22.(11.00 分)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 A(3，0)，B(﹣
1，0)，C(0，﹣3).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标;
(3)若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的 四边形是平行四边形?若存在，求点 P 的坐标;若不存在，请说明理由.
【解答】解：(1)把 A(3，0)，B(﹣1，0)，C(0，﹣3)代入抛物线解析式得：
，
解得： ， 则该抛物线解析式为 y=x2﹣2x﹣3;
(2)设直线 BC 解析式为 y=kx﹣3，
把 B(﹣1，0)代入得：﹣k﹣3=0，即 k=﹣3，
∴直线 BC 解析式为 y=﹣3x﹣3，
∴直线 AM 解析式为 y= x+m，
把 A(3，0)代入得：1+m=0，即 m=﹣1，
∴直线 AM 解析式为 y= x﹣1， 联立得： ，
解得： ，
则 M(﹣ ，﹣ );
(3)存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形， 分两种情况考虑：
设 Q(x，0)，P(m，m2﹣2m﹣3)，
当四边形 BCQP 为平行四边形时，由 B(﹣1，0)，C(0，﹣3)， 根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3， 解得：m=1± ，x=2± ，
当 m=1+ 时，m2﹣2m﹣3=8+2 ﹣2﹣2 ﹣3=3，即 P(1+ ，2);
当 m=1﹣ 时，m2﹣2m﹣3=8﹣2 ﹣2+2 ﹣3=3，即 P(1﹣ ，2); 当四边形 BCPQ 为平行四边形时，由 B(﹣1，0)，C(0，﹣3)， 根据平移规律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，
解得：m=0 或 2，
当 m=0 时，P(0，﹣3)(舍去);当 m=2 时，P(2，﹣3)，
综上，存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，P 的坐标为(1+ ，
2)或(1﹣ ，2)或(2，﹣3).
