九年级数学下期中试卷与答案
也许让学生体验到数学源于生活、用于生活的同时，更应该让学生体会到数学高于生活，体会到数学可以带动社会的发展，科学的进步，带动生活质量的提高，这样更能激发学生学好数学
期中测试题
一、选择题(每小题4分，共48分)
1.(4分)与2和为0的数是( )
A.﹣2 B.2 C. D.﹣
2.(4分)我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示是( )
A.0.675×105 B.67.5×103 C.6.75×104 D.6.75×105
3.(4分)一个几何体的三视图中有两个为矩形，则这个几何体不可能是( )
A.三棱柱 B.四棱柱 C.圆柱 D.球
4.(4分)已知点A(2，y1)，B(1，y2)，C(﹣1，y3)在反比例函数y= 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y2>y1 D.y1>y3>y2
5.(4分)某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为( )
A. B. C. D.
6.(4分)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为( )
A. B. C. D.
7.(4分)分式方程 = 的根为( )
A.1 B.2 C.﹣3 D.3
8.(4分)如图，A、B两点在双曲线y= 上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.(4分)如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别切于E、F、G、H，点P是弧HG上的一点，则tan∠EPF的值是( )
A.1 B.2 C.0.5 D.1.5
10.(4分)如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为( )
A.18 B.20 C.22 D.24
11.(4分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
12.(4分)因为sin30°= ，sin210°= ，所以sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°;因为sin45°= ，sin225°= ，所以sin225°=sin(180°+45°)=﹣sin45°，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180°+α)=﹣sinα，由此可知：sin240°=( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分，共24分)
13.(4分)分解因式ab2﹣a2b的结果为 .
14.(4分)一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是 .
15.(4分)不等式2x﹣1 的解集为 .
16.(4分)函数y= 的自变量x的取值范围是 .
17.(4分)如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是 (填一个即可)
18.(4分)如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是 度.
三、解答题(每小题8分，共32分)
19.(8分)(2017﹣π)0+(﹣ )﹣2﹣| |﹣3tan30°.
20.(8分)先化简，再求值：( ﹣ ) ，其中x是方程x2﹣3x+2=0的解.
21.(8分)已知如图，点M是双曲线y= 上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，若S△MON=2，求该双曲线的解析式.
22.(8分)如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路.
(1)求改直的公路AB的长(精确到0.1);
(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
四、解答题(每小题10分，共20分)
23.(10分)为了培养学生的兴趣，我市某小学决定再开设A.舞蹈，B.音乐，C.绘画，D.书法四个兴趣班，为了解学生对这四个项目的兴趣爱好，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图1，2所示的统计图，且结合图中信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，共调查了多少名学生?
(2)请将两幅统计图补充完整;
(3)若本校一共有2000名学生，请估计喜欢“音乐”的人数;
(4)若调查到喜欢“书法”的4名学生中有2名男生，2名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到相同性别的学生的概率.
24.(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长 线于点C，连接AD并延长，交BE于点E.
(1)求证：AB=BE;
(2)若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长.
五、解答题(每小题12分，共12分)
25.(12分)如图，双曲线y1= 与直线y2=ax+b相交于点A(1，4)，B(4，m).
(1)求双曲线和直线的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)根据图象直接写出y1>y2时自变量x的取值范围;
(4)P为双曲线上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，求矩形PMON的最小周长.
六、解答题(每小题14分，共14分)
26.(14分)矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)，C(0，﹣3)，直线y=﹣ x与BC边相交于D点.
(1)求点D的坐标;
(2)若抛物线y=ax2﹣ x经过点A，试确定此抛物线的表达式;
(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P 、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标.
期中测试题答案
一、选择题(每小题4分，共48分)
1.(4分)与2和为0的数是( )
A.﹣2 B.2 C. D.﹣
【解答】解∵﹣2+2=0，
∴与2的和为0的数是﹣2;
故选A.
2.(4分)我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示是( )
A.0.675×105 B.67.5×103 C.6.75×104 D.6.75×105
【解答】解：67500用科学记数法表示为：6.75×104.
故选：C.
3.(4分)一个几何体的三视图中有两个为矩形，则这个几何体不可能是( )
A.三棱柱 B.四棱柱 C.圆柱 D.球
【解答】解：三棱柱的三视图中可能有两个为矩形，一个三角形;四棱柱的三视图中可能有两个为矩形，一个四边形;圆柱的三视图中有两个为矩形，一个圆;球的三视图都为圆.
故选D.
4.(4分)已知点A(2，y1)，B(1，y2)，C(﹣1，y3)在反比例函数y= 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y2>y1 D.y1>y3>y2
【解答】解：∵点A(2，y1)，B(1，y2)，C(﹣1，y3)都在反比例函数y= 的图象上，
∴y1= =1;y2= =2;y3= =﹣2，
∵2>1>﹣2，
∴y2>y1>y3.
故选B.
5.(4分)某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解：抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：
5÷(30+25+5)
=5÷60
=
故选：A.
6.(4分)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为( )
A. B. C. D.
【解答】解：∵sinA= ，
∴设BC=5x，AB=13x，
则AC= =12x，
故tan∠B= = .
故选：D.
7.(4分)分式方程 = 的根为( )
A.1 B.2 C.﹣3 D.3
【解答】解：去分母得：x+3=3x﹣3，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故选D
8.(4分)如图，A、B两点在双曲线y= 上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解：∵点A、B是双曲线y= 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S1+S2=4+4﹣1×2=6.
故选：D.
9.(4分)如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别切于E、F、G、H，点P是弧HG上的一点，则tan∠EPF的值是( )
A.1 B.2 C.0.5 D.1.5
【解答】解：连接HF，EG，FG，
∵⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H，
∴四边形AEOH是正方形，
∴FH⊥EG，
∵OG=OF，
∴∠OGF=45°，
∵∠EPF=∠OGF，
∴tan∠EPF=tan45°=1，
故选A.
10.(4分)如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为( )
A.18 B.20 C.22 D.24
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，
∴BC=AD=12，CD=AB=5，∠ABC=90°，OA=OC，
∴AC= =13，
∴OB=OA=OC= AC=6.5，
∵M是AD的中点，
∴OM= CD=2.5，AM= AD=6，
∴四边形ABOM的周长为：AB+OB+OM+AM=5+6.5+2.5+6=20.
故选B.
11.(4分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4 (kb+1)>0，
解得kb<0，
A.k>0，b>0，即kb>0，故A不正确;
B.k>0，b< 0，即kb<0，故B正确;
C.k<0，b<0，即kb>0，故C不正确;
D.k<0，b=0，即kb=0，故D不正确;
故选：B.
12.(4分)因为sin30°= ，sin210°= ，所以sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°;因为sin45°= ，sin225°= ，所以sin225°=sin(180°+45°)=﹣sin45°，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180°+α)=﹣sinα，由此可知：sin240°=( )
A. B. C. D.
【解答】解：∵当α为锐角时有sin(180°+α)=﹣sinα，
∴sin240°=sin(180°+60°)= ﹣sin60°=﹣ .
故选C.
二、填空题(每小题4分，共24分)
13.(4分)分解因式ab2﹣a2b的结果为 ab(3b﹣a) .
【解答】解：ab2﹣a2b=ab(3b﹣a)，
故答案为：ab(3b﹣a).
14.(4分)一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是 6 .
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，(n﹣2)•180°=2×360°，
解得n=6.
答：这个多边形的边数是6.
故答案为：6.
15.(4分)不等式2x﹣1 的解集为 x≤1 .
【解答】解：2x﹣1 ，
去分母得：2(2x﹣1)≤3x﹣1，
去括号得：4x﹣2≤3x﹣1，
移项合并得：x≤1.
16.(4分)函数y= 的自变量x的取值范围是 x≥1 .
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1.
故答案为x≥1.
17.(4分)如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是 ∠C=∠BAD (填一个即可)
【解答】解：∵∠B=∠B(公共角)，
∴可添加：∠C=∠BAD.
此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似.
故答案可为：∠C=∠BAD.
18.(4分)如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是 60 度.
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°;
由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°.
三、解答题(每小题8分，共32分)
19.(8分)(2017﹣π)0+(﹣ )﹣2﹣| |﹣3tan30°.
【解答】解：原式=1+9﹣(2﹣ )﹣3× ，
=1+9﹣2+ ﹣ ，
=8.
20.(8分)先化简，再求值：( ﹣ ) ，其中x是方程x2﹣3x+2=0的解.
【解答】解：( ﹣ )
=
=2﹣0.5x
∵x是方程x2﹣3x+2=0的解，
∴x=1或x=2，
∵x=2时，x﹣2=0，
∴x=1，
∴原式=2﹣0.5×1=1.5.
21.(8分)已知如图，点M是双曲线y= 上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，若S△MON=2，求该双曲线的解析式.
【解答】解：∵MN垂直于x轴，
∴S△OMN= |k|，
∴ |k|=2，
而k<0，
∴k=﹣4，
∴该双曲线的解析式为y=﹣ .
22.(8分)如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路.
(1)求改直的公路AB的长(精确到0.1);
(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
【解答】解：(1)作CH⊥AB于H.
∵AC=10千米，∠CAB=25°，
∴在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=10•sin25°≈4.23(千米)，
AH=AC•cos∠CAB=10•cos25°≈9.06(千米).
∵∠CBA=37°，
∴在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.23÷tan37°≈5.61(千米)，
∴AB=AH+BH=9.06+5.61=14.67≈14.7(千米).
∴改直的公路AB的长14.7千米;
(2)在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.23÷sin37 °≈7.03(千米)，
则AC+BC﹣AB=10+7.03﹣14.7≈2.3(千米).
答：公路改直后比原来缩短了2.3千米.
四、解答题(每小题10分，共20分)
23.(10分)为了培养学生的兴趣，我市某小学决定再开设A.舞蹈，B.音乐，C.绘画，D.书法四个兴趣班，为了解学生对这四个项目的兴趣爱好，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图1，2所示的统计图，且结合图中信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，共调查了多少名学生?
(2)请将两幅统计图补充完整;
(3)若本校一共有2000名学生，请估计喜欢“音乐”的人数;
(4)若调查到喜欢“书法”的4名学生中有2名男生，2名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到相同性别的学生的概率.
【解答】解：(1)120÷40%=300(名)，
所以在这次调查中，共调查了300名学生;
(2)B类学生人数=300﹣90﹣120﹣30=60(名)，
A类人数所占百分比= ×100%=30%;B类人数所占百分比= ×100%=20%;
统计图为：
(3)2000×20%=400(人)，
所以估计喜欢“音乐”的人数约为400人;
(4)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中相同性别的学生的结果数为4，
所以相同性别的学生的概率= = .
24.(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E.
(1)求证：AB=BE;
(2)若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长.
【解答】(1)证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE;
(2)解：由(1)知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB= ，
在Rt△POD中，cos∠POD= = ，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴ ，
∴OA=3，
∴⊙O半径=3.
五、解答题(每小题12分，共12分)
25.(12分)如图，双曲线y1= 与直线y2=ax+b相交于点A(1，4)，B(4，m).
(1)求双曲线和直线的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)根据图象直接写出y1>y2时自变量x的取值范围;
(4)P为双曲线上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于 点N，求矩形PMON的最小周长.
【解答】解：(1)把点A(1，4)代入双曲线y1= ，可得
k=1×4=4，
∴双曲线的解析式为y= ;
把B(4，m)代入反比例函数，可得
4m=4，
∴m=1，
∴B(4，1)，
把A(1，4)，B(4，1)代入直线解析式，可得
，
解得 ，
∴直线解析式为y=﹣x+5.
(2)如图，过A作AD⊥OC于D，过B作BE⊥OC于E，
则△AOD的面积=△BOC的面积= ×4=2;
∴△AOB的面积
=梯形ABED的面积+△AOD的面积﹣△BOC的面积
=梯形ABED的面积
= ×(1+4)(4﹣1)
= ;
(3)由图可得，当y1>y2时，自变量x的取值范围为：04;
(4)设点P的坐标为(x， )(x>0)，则
PM= ，PN=x，
∴矩形PMON的周长=2(x+ )= ，
∵x>0，
∴当x=2时，矩形PMON的周长最小值为8.
六、解答题(每小题14分，共14分)
26.(14分)矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)，C(0，﹣3)，直线y=﹣ x与BC边相交于D点.
(1)求点D的坐标;
(2)若抛物线y=ax2﹣ x经过点A，试确定此抛物线的表达式;
(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标.
【解答】解：(1)∵直线y=﹣ x与BC边相交于D点，知D点纵坐标为﹣3，
∴代入直线得点D的坐标为(4，﹣3).(2分)
(2)∵A(6，0)在抛物线上，代入抛物线的表达式得a= ，
∴y= x2﹣ x.(4分)
(3)抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件.
∵OA∥CB，
∴∠P1OM=∠CDO.
∵∠OP1 M=∠DCO=90°，
∴Rt△P1OM∽Rt△CDO.(6分)
∵抛物线的对称轴x=3，
∴点P1的坐标为P1(3，0).(7分)
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2.
∵对称轴平行于y轴，
∴∠P2MO=∠DOC.
∵∠P2OM=∠DCO=90°，
∴Rt△P2MO∽Rt△DOC.(8分)
∴点P2也符合条件，∠OP2M=∠ODC.
∴P1O=CO=3，∠P2P1O=∠DCO=90°，
∴Rt△P2P1O≌Rt△DCO.(9分)
∴P1P2=CD=4.
∵点P2在第一象限，
∴点P2的坐标为P2(3，4)，
∴符合条件的点P有两个，分别是P1(3，0)，P2(3，4).(11分)
