数学难题解决与想象力相互联系吗

　　作为一个数学教师要贯彻落实素质教育的精神,在数学教学中不仅要重视对学生进行基础知识的传授,更要重视培养学生的能力,特别是数学思维能力。 以下是小编分享给大家的关于写数学难题解决与想象力相互联系吗，一起来看看吧!

　　数学思维能力包括理解、抽象和概括、联想、推理等许多方面的能力,联想能力是思维能力的一个重要方面。富于联想是思维灵活的表现,其特征是思维灵活多变,不受思维定势限制,善于从多角度、多方面去观察和思考问题,进行大胆联想,寻求正确的解答。联想是一种创造性思维,联想的结果往往是能从给定的信息中产生新的信息,发现新的方法,寻找新的规律,探索新的科学。正如哲学家康德所说:“每当理智缺乏可靠论证的思路时,相似思考(即联想)往往指导我们前进”。数学家总是富于联想的,欧拉凭借他丰富的联想、类比的本领解决了不少世界难题,成为一代数学巨匠。因此在数学中我们要不失时机地对学生进行联想能力的培养。

　　一个很简单的数学关系,若能深入下去,善于联想,常能结出丰硕之果,本文试以“勾三、股四、弦五”为例,谈谈自己在第二课堂中培养学生联想能力的具体做法:

　　“勾三、股四、弦五”即32+42=52,中学教材中这个等式原本来自几何的“勾股定理”,但由于它的表达形式是数的性质,于是我引导学生从“数”“式”上去挖掘,展开联想。

　　联想1:引导学生逆向思考,把等式32+42=52逆着看,则有52=32+42,这个等式告诉我们:5的2次方能用两个自然数的平方和表示,联想到51=12+22,就会想到53,54,……5n是否也分别能表示为两个自然数的平方和?这个问题不难解决:由于53=51×52=(12+22)(32+42)=12x32+22×4+12×42+22×32=(12×32+2×3×2×4+22×42)+(12×42-2×1×4×2×3+22×32)=(1×3+2×4)2+(1×4-2×3)2=112+22,或者53=51×52=(12+22)(32+42)=12×32+22×42+12×42+22×32=(12×32-2×1×3×2×4+22×42)+(12×42+2×1×4×2×3+22×32)=(1×3-2×4)2+(1×4+2×3)2=52+102。即有53=112+22或者53=52+102。

　　类似地,注意到54=51×53=52×52,可得:54=152+202=242+72

　　依此类推,我们猜想:5n(n为自然数)可用两个自然数的平方和表示吗?对此,我问而不答,留给学生课余思考并寻找证明自己的结论的方法。

　　联想2:32+42=52表示3、4、5这三个连续自然数是一组勾股数,于是引导学生联想:3、4、5是否为唯一的一组既是连续自然数又是勾股数组的数?即是否存在其他的三个连续自然数a、b、c,它们之间有关系c2=a2+b2?这个问题不难解决:只要令a=x-1,b=x,c=x+1(n是自然数,且n≥>2),则如果(x-1)2+x2=(x+1)2,即x2-4x=0即x(x-4)=0,那么由于n是自然数,故n=4,于是a=3,b=4,c=5。因此除3、4、5外不存在既是连续自然数又是勾殷数组的三个数了。

　　联想3:引导学生着重从等式32+42=52的项数联想,等式的左边是两个数,右边是一个数,左边比右边多1个数,这个式子表示:三个连续的自然数中前两个数的平方和等于后一个数的平方,那么很自然我们可联想:五个连续的自然数之间也有类似规律吗?即是否存在五个连续的自然数,使得其中前三个数的平方和等于后两个数的平方和?

　　令五个连续的自然数为n-2,n-1,n,n+1,n+2(n≥3),则有(n-2)2+(n-1)2+n2=(n+1)2+(n+2)2,从而n2-12n=0,n(n-12)=0,因为n≠0,所以n=12,于是32+42=52又得到了推广:102+112+122=132+142。

　　这一结果今学生振奋不已,思维更活跃了,进一步联想又得到了新的结论:212+222+232+242=252+262+272。

　　沿着这一条思路继续想下去,学生猜想:一般情况下,2k+l(k为自然数)个连续的自然数之间是否也有类似规律?即是否存在(2k+1)个连续的自然数,使得其中的前(k+1)个数的平方和等于k个数的平方和?

　　令(2k+1)个连续的自然数为x-k,x-(k-1),…,x-2,(x-1),x,x+1,x+2,…,x+(k-1),x+k,则有(x-k)2+[x-(k-1)]2+…+(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2+…[x+(k-1)]2+(x+k)2,从而有x2-4[1+2+…+(k-1)+k]x=0,由于x是自然数,故有x=4[1+2+…+(k-1)+k]=4×k(k+1)/2=2k2+2k,于是32+42=52得到了更一般的推广:(2k2+k)2+(2k2+k+1)+…+(2k2+2k)2=(2k2+2k+1)2+(2k2+2k+2)2+…+(2k2+3k)2(k是自然数)。

　　将这个恒等式隐藏起来,就得到了第29届IMO预选题(古巴提供):设k为正整数,能否将(2k2+k)与(2k2+3k)之间(包括这两个数在内)的所有整数分成两组,使得这两组数的平方和相等?

　　我们还可以引导学生联想x2+y2=z2的整数解问题,从而激发学生强烈的求知欲望,激励他们爱好数学,献身数学。

　　这样,从一个简单的数学关系出发,由于引导学生深入思考,启迪学生勇于联想,从而不断升华,既推广了勾股定理,又培养了学生的联想能力和创造能力,还起到了优化学生非智力因素的作用。

　　作为数学教师,在平常教学中我们应该充分利用课本中有利于培养学生能力的题材,在课堂教学和第二课堂中有意识地培养学生的各种数学能力,这样素质教育在数学教学中才能落到实处。