新课标高二数学教案例文

 2022-08-23 00:01:22

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新课标高二数学教案2021例文1

教学目标

(1)了解算法的含义，体会算法思想.

(2)会用自然语言和数学语言描述简单具体问题的算法;

(3)学习有条理地、清晰地表达解决问题的步骤，培养逻辑思维能力与表达能力

教学重难点

重点：算法的含义、解二元一次方程组的算法设计.

难点：把自然语言转化为算法语言.

情境导入

电影《神枪手》中描述的凌靖是一个天生的狙击手，他百发百中，最难打的位置对他来说也是轻而易举，是香港警察狙击手队伍的第一神枪手.作为一名狙击手，要想成功地完成一次狙击任务，一般要按步骤完成以下几步：

第一步：观察、等待目标出现(用望远镜或瞄准镜);

第二步：瞄准目标;

第三步：计算(或估测)风速、距离、空气湿度、空气密度;

第四步：根据第三步的结果修正弹着点;

第五步：开枪;

第六步：迅速转移(或隐蔽).

以上这种完成狙击任务的方法、步骤在数学上我们叫算法.

●课堂探究

预习提升

1.定义：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题.

2.描述方式

自然语言、数学语言、形式语言(算法语言)、框图.

3.算法的要求

(1)写出的算法，必须能解决一类问题，且能重复使用;

(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果.

4.算法的特征

(1)有限性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束.

(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是确定的.

(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果.

(4)顺序性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后续，且除了最后一步外，每一个步骤只有一个确定的后续.

(5)不性：解决同一问题的算法可以是不的.

新课标高二数学教案2021例文2

第1课时算法的概念

[核心必知]

1.预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P2～P5，回答下列问题.

(1)对于一般的二元一次方程组a1x+b1y=c1，①a2x+b2y=c2，②其中a1b2-a2b1≠0，如何写出它的求解步骤?

提示：分五步完成：

第一步，①×b2-②×b1，得(a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2，③

第二步，解③，得x=b2c1-b1c2a1b2-a2b1.

第三步，②×a1-①×a2，得(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1，④

第四步，解④，得y=a1c2-a2c1a1b2-a2b1.

第五步，得到方程组的解为x=b2c1-b1c2a1b2-a2b1，y=a1c2-a2c1a1b2-a2b1.

(2)在数学中算法通常指什么?

提示：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.

2.归纳总结，核心必记

(1)算法的概念

12世纪

的算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程

续表

数学中

的算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤

现代算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题

(2)设计算法的目的

计算机解决任何问题都要依赖于算法.只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题.

[问题思考]

(1)求解某一个问题的算法是否是的?

提示：不是.

(2)任何问题都可以设计算法解决吗?

提示：不一定.

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点：

(1)算法的概念：;

(2)设计算法的目的：.

[思考1]应从哪些方面来理解算法的概念?

名师指津：对算法概念的三点说明：

(1)算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确的和有效的，而且能够在有限步骤之内完成.

(2)算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般和特殊的关系，也是抽象与具体的关系.算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决.

(3)算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性、精确性，所以算法在解决问题中更具有条理性、逻辑性的特点.

[思考2]算法有哪些特征?

名师指津：(1)确定性：算法的每一个步骤都是确切的，能有效执行且得到确定结果，不能模棱两可.

(2)有限性：算法应由有限步组成，至少对某些输入，算法应在有限多步内结束，并给出计算结果.

(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一步都只能有一个确定的继任者，只有执行完前一步才能进入到后一步，并且每一步都确定无误后，才能解决问题.

(4)不性：求解某一个问题的算法不一定只有的一个，可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决.

讲一讲

1.以下关于算法的说法正确的是()

A.描述算法可以有不同的方式，可用自然语言也可用其他语言

B.算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题

C.算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果

D.算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果

[尝试解答]算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或计算序列能够解决一类问题，故B不正确.

算法过程要一步一步执行，每一步执行操作，必须确切，只能有结果，而且经过有限步后，必须有结果输出后终止，故C、D都不正确.

描述算法可以有不同的语言形式，如自然语言、框图语言等，故A正确.

答案：A

判断算法的关注点

(1)明确算法的含义及算法的特征;

(2)判断一个问题是否是算法，关键看是否有解决一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步内完成.

练一练

1.(2016•西南师大附中检测)下列描述不能看作算法的是()

A.洗衣机的使用说明书

B.解方程x2+2x-1=0

C.做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤

D.利用公式S=πr2计算半径为3的圆的面积，就是计算π×32

解析：选BA、C、D都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而B只描述了一个事例，没有说明怎样解决问题，不是算法.

假设家中生火泡茶有以下几个步骤：

a.生火b.将水倒入锅中c.找茶叶d.洗茶壶、茶碗e.用开水冲茶

[思考1]你能设计出在家中泡茶的步骤吗?

名师指津：a→a→c→d→e

[思考2]设计算法有什么要求?

名师指津：(1)写出的算法必须能解决一类问题;

(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少;

(3)要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.

讲一讲

2.写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.

[尝试解答]法一：算法如下.

第一步，将方程左边因式分解，得(x-3)(x+1)=0;①

第二步，由①得x-3=0，②或x+1=0;③

第三步，解②得x=3，解③得x=-1.

法二：算法如下.

第一步，移项，得x2-2x=3;①

第二步，①式两边同时加1并配方，得(x-1)2=4;②

第三步，②式两边开方，得x-1=±2;③

第四步，解③得x=3或x=-1.

法三：算法如下.

第一步，计算方程的判别式并判断其符号Δ=(-2)2+4×3=16>0;

第二步，将a=1，b=-2，c=-3，代入求根公式x1，x2=-b±b2-4ac2a，得x1=3，x2=-1.

设计算法的步骤

(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法;

(2)借助有关变量或参数对算法加以表述;

(3)将解决问题的过程划分为若干步骤;

(4)用简练的语言将步骤表示出来.

练一练

2.设计一个算法，判断7是否为质数.

解：第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.

第二步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.

第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.

第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.

第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.

因此，7是质数.

讲一讲

3.一次青青草原草原长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河.河边只有一条船，由于船太小，只能装下两样东西.在无人看管的情况下，灰太狼要吃懒羊羊，懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着他们平安过河?试设计一种算法.

[思路点拨]先根据条件建立过程模型，再设计算法.

[尝试解答]包包大人采取的过河的算法可以是：

第一步，包包大人带懒羊羊过河;

第二步，包包大人自己返回;

第三步，包包大人带青草过河;

第四步，包包大人带懒羊羊返回;

第五步，包包大人带灰太狼过河;

第六步，包包大人自己返回;

第七步，包包大人带懒羊羊过河.

实际问题算法的设计技巧

(1)弄清题目中所给要求.

(2)建立过程模型.

(3)根据过程模型建立算法步骤，必要时由变量进行判断.

练一练

3.一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗?

解：法一：算法如下.

第一步，任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚就是假银元，若天平平衡，则进行第二步.

第二步，取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元.

法二：算法如下.

第一步，把9枚银元平均分成3组，每组3枚.

第二步，先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的那一组;否则假银元在未称量的那一组.

第三步，取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边;若天平平衡，则未称量的那一枚是假银元.

新课标高二数学教案2021例文3

1.本节课的重点是理解算法的概念，体会算法的思想，难点是掌握简单问题算法的表述.

2.本节课要重点掌握的规律方法

(1)掌握算法的特征，见讲1;

(2)掌握设计算法的一般步骤，见讲2;

(3)会设计实际问题的算法，见讲3.

3.本节课的易错点

(1)混淆算法的特征，如讲1.

(2)算法语言不规范致误，如讲3.

课下能力提升(一)

[学业水平达标练]

题组1算法的含义及特征

1.下列关于算法的说法错误的是()

A.一个算法的步骤是可逆的

B.描述算法可以有不同的方式

C.设计算法要本着简单方便的原则

D.一个算法不可以无止境地运算下去

解析：选A由算法定义可知B、C、D对，A错.

2.下列语句表达的是算法的有()

①拨本地电话的过程为：1提起话筒;2拨号;3等通话信号;4开始通话或挂机;5结束通话;

②利用公式V=Sh计算底面积为3，高为4的三棱柱的体积;

③x2-2x-3=0;

④求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….

A.①②B.①②③

C.①②④D.①②③④

解析：选A算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.①②都各表达了一种算法;③只是一个纯数学问题，不是一个明确步骤;④的步骤是无穷的，与算法的有穷性矛盾.

3.下列各式中S的值不可以用算法求解的是()

A.S=1+2+3+4

B.S=12+22+32+…+1002

C.S=1+12+…+110000

D.S=1+2+3+4+…

解析：选DD中的求和不符合算法步骤的有限性，所以它不可以用算法求解，故选D.

题组2算法设计

4.给出下面一个算法：

第一步，给出三个数x，y，z.

第二步，计算M=x+y+z.

第三步，计算N=13M.

第四步，得出每次计算结果.

则上述算法是()

A.求和B.求余数

C.求平均数D.先求和再求平均数

解析：选D由算法过程知，M为三数之和，N为这三数的平均数.

5.(2016•东营高一检测)一个算法步骤如下：

S1，S取值0，i取值1;

S2，如果i≤10，则执行S3，否则执行S6;

S3，计算S+i并将结果代替S;

S4，用i+2的值代替i;

S5，转去执行S2;

S6，输出S.

运行以上步骤后输出的结果S=()

A.16B.25

C.36D.以上均不对

解析：选B由以上计算可知：S=1+3+5+7+9=25，答案为B.

6.给出下面的算法，它解决的是()

第一步，输入x.

第二步，如果x<0，则y=x2;否则执行下一步.

第三步，如果x=0，则y=2;否则y=-x2.

第四步，输出y.

A.求函数y=x2x<0，-x2x≥0的函数值

B.求函数y=x2x<0，2x=0，-x2x>0的函数值

C.求函数y=x2x>0，2x=0，-x2x<0的函数值

D.以上都不正确

解析：选B由算法知，当x<0时，y=x2;当x=0时，y=2;当x>0时，y=-x2.故选B.

7.试设计一个判断圆(x-a)2+(y-b)2=r2和直线Ax+By+C=0位置关系的算法.

解：算法步骤如下：

第一步，输入圆心的坐标(a，b)、半径r和直线方程的系数A、B、C.

第二步，计算z1=Aa+Bb+C.

第三步，计算z2=A2+B2.

第四步，计算d=|z1|z2.

第五步，如果d>r，则输出“相离”;如果d=r，则输出“相切”;如果d

8.某商场举办优惠促销活动.若购物金额在800元以上(不含800元)，打7折;若购物金额在400元以上(不含400元)800元以下(含800元)，打8折;否则，不打折.请为商场收银员设计一个算法，要求输入购物金额x，输出实际交款额y.

解：算法步骤如下：

第一步，输入购物金额x(x>0).

第二步，判断“x>800”是否成立，若是，则y=0.7x，转第四步;否则，执行第三步.

第三步，判断“x>400”是否成立，若是，则y=0.8x;否则，y=x.

第四步，输出y，结束算法.

题组3算法的实际应用

9.国际奥委会宣布2020年夏季奥运会主办城市为日本的东京.据《中国体育报》报道：对参与竞选的5个夏季奥林匹克运动会申办城市进行表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市将获得举办权;如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘汰，然后进行第二轮投票;如果第二轮投票仍没选出主办城市，将进行第三轮投票，如此重复投票，直到选出一个主办城市为止，写出投票过程的算法.

解：算法如下：

第一步，投票.

第二步，统计票数，如果一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权，否则淘汰得票数最少的城市并转第一步.

第三步，宣布主办城市.

[能力提升综合练]

1.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅、盛水2分钟;②洗菜6分钟;③准备面条及佐料2分钟;④用锅把水烧开10分钟;⑤煮面条和菜共3分钟.以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序.小明要将面条煮好，最少要用()

A.13分钟B.14分钟

C.15分钟D.23分钟

解析：选C①洗锅、盛水2分钟+④用锅把水烧开10分钟(同时②洗菜6分钟+③准备面条及佐料2分钟)+⑤煮面条和菜共3分钟=15分钟.解决一个问题的算法不是的，但在设计时要综合考虑各个方面的因素，选择一种较好的算法.

2.在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是()

A.这个算法可以求方程所有的零点

B.这个算法可以求任何方程的零点

C.这个算法能求方程所有的近似零点

D.这个算法并不一定能求方程所有的近似零点

解析：选D二分法求方程零点的算法中，仅能求方程的一些特殊的近似零点(满足函数零点存在性定理的条件)，故D正确.

3.(2016•青岛质检)结合下面的算法：

第一步，输入x.

第二步，判断x是否小于0，若是，则输出x+2，否则执行第三步.

第三步，输出x-1.

当输入的x的值为-1,0,1时，输出的结果分别为()

A.-1,0,1B.-1,1,0

C.1，-1,0D.0，-1,1

解析：选C根据x值与0的关系选择执行不同的步骤.

4.有如下算法：

第一步，输入不小于2的正整数n.

第二步，判断n是否为2.若n=2，则n满足条件;若n>2，则执行第三步.

第三步，依次从2到n-1检验能不能整除n，若不能整除，则n满足条件.

则上述算法满足条件的n是()

A.质数B.奇数

C.偶数D.合数

解析：选A根据质数、奇数、偶数、合数的定义可知，满足条件的n是质数.

5.(2016•济南检测)输入一个x值，利用y=|x-1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：

第一步：输入x;

第二步：________;

第三步：当x<1时，计算y=1-x;

第四步：输出y.

解析：以x-1与0的大小关系为分类准则知第二步应填当x≥1时，计算y=x-1.

答案：当x≥1时，计算y=x-1

6.已知一个算法如下：

第一步，令m=a.

第二步，如果b<m，则m=b.< p="">

第三步，如果c<m，则m=c.< p="">

第四步，输出m.

如果a=3，b=6，c=2，则执行这个算法的结果是________.

解析：这个算法是求a，b，c三个数中的最小值，故这个算法的结果是2.

答案：2

7.下面给出了一个问题的算法：

第一步，输入a.

第二步，如果a≥4，则y=2a-1;否则，y=a2-2a+3.

第三步，输出y的值.

问：(1)这个算法解决的是什么问题?

(2)当输入的a的值为多少时，输出的数值最小?最小值是多少?

解：(1)这个算法解决的是求分段函数

y=2a-1，a≥4，a2-2a+3，a<4的函数值的问题.

(2)当a≥4时，y=2a-1≥7;

当a<4时，y=a2-2a+3=(a-1)2+2≥2，

∵当a=1时，y取得最小值2.

∴当输入的a值为1时，输出的数值最小为2.

8.“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下的大将，他英勇善战，谋略超群，为汉朝的建立立下了不朽功勋.据说他在一次点兵的时候，为保住军事秘密，不让敌人知道自己部队的军事实力，采用下述点兵方法：①先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2;②又令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3;③又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样韩信很快算出自己部队里士兵的总数.请设计一个算法，求出士兵至少有多少人.

解：第一步，首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2.

第二步，依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2,5,8,11,14,17,20，….

第三步，在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8.

第四步，然后在自然数内在8的基础上依次加上15，得到8,23,38,53，….

第五步，在上列数中确定最小的满足除以7余4的正整数：53.

即士兵至少有53人.

【二】

[核心必知]

1.预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P6～P9，回答下列问题.

(1)常见的程序框有哪些?

提示：终端框(起止框)，输入、输出框，处理框，判断框.

(2)算法的基本逻辑结构有哪些?

提示：顺序结构、条件结构和循环结构.

2.归纳总结，核心必记

(1)程序框图

程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.

在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序.

(2)常见的程序框、流程线及各自表示的功能

图形符号名称功能

终端框(起止框)表示一个算法的起始和结束

输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息

处理框(执行框)赋值、计算

判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”

流程线连接程序框

○连接点连接程序框图的两部分

(3)算法的基本逻辑结构

①算法的三种基本逻辑结构

算法的三种基本逻辑结构为顺序结构、条件结构和循环结构，尽管算法千差万别，但都是由这三种基本逻辑结构构成的.

②顺序结构

顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的.这是任何一个算法都离不开的基本结构，用程序框图表示为：

[问题思考]

(1)一个完整的程序框图一定是以起止框开始，同时又以起止框表示结束吗?

提示：由程序框图的概念可知一个完整的程序框图一定是以起止框开始，同时又以起止框表示结束.

(2)顺序结构是任何算法都离不开的基本结构吗?

提示：根据算法基本逻辑结构可知顺序结构是任何算法都离不开的基本结构.

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点：

(1)程序框图的概念：;

(2)常见的程序框、流程线及各自表示的功能：;

(3)算法的三种基本逻辑结构：;

(4)顺序结构的概念及其程序框图的表示：.

问题背景：计算1×2+3×4+5×6+…+99×100.

[思考1]能否设计一个算法，计算这个式子的值.

提示：能.

[思考2]能否采用更简洁的方式表述上述算法过程.

提示：能，利用程序框图.

[思考3]画程序框图时应遵循怎样的规则?

名师指津：(1)使用标准的框图符号.

(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画.

(3)除判断框外，其他程序框图的符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是一个具有超过一个退出点的程序框.

(4)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.

(5)流程线不要忘记画箭头，因为它是反映流程执行先后次序的，如果不画出箭头就难以判断各框的执行顺序.

讲一讲

1.下列关于程序框图中图形符号的理解正确的有()

①任何一个流程图必须有起止框;②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前;③判断框是的具有超过一个退出点的图形符号;④对于一个程序框图来说，判断框内的条件是的.

A.1个B.2个C.3个D.4个

[尝试解答]任何一个程序必须有开始和结束，从而流程图必须有起止框，①正确.输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置，②错误.③正确.判断框内的条件不是的，④错误.故选B.

答案：B

画程序框图时应注意的问题

(1)画流程线不要忘记画箭头;

(2)由于判断框的退出点在任何情况下都是根据条件去执行其中的一种结果，而另一个则不会被执行，故判断框后的流程线应根据情况注明“是”或“否”.

练一练

1.下列关于程序框图的说法中正确的个数是()

①用程序框图表示算法直观、形象、容易理解;②程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的“一图胜万言”;③在程序框图中，起止框是任何程序框图中不可少的;④输入和输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置.

A.1B.2C.3D.4

解析：选D由程序框图的定义知，①②③④均正确，故选D.

观察如图所示的内容：

[思考1]顺序结构有哪些结构特征?

名师指津：顺序结构的结构特征：

(1)顺序结构的语句与语句之间、框与框之间按从上到下的顺序执行，不会引起程序步骤的跳转.

(2)顺序结构是最简单的算法结构.

(3)顺序结构只能解决一些简单的问题.

[思考2]顺序结构程序框图的基本特征是什么?

名师指津：顺序结构程序框图的基本特征：

(1)必须有两个起止框，穿插输入、输出框和处理框，没有判断框.

(2)各程序框用流程线依次连接.

(3)处理框按计算机执行顺序沿流程线依次排列.

讲一讲

2.已知P0(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，写出求点P0到直线l的距离d的算法，并用程序框图来描述.

[尝试解答]第一步，输入x0，y0，A，B，C;

第二步，计算m=Ax0+By0+C;

第三步，计算n=A2+B2;

第四步，计算d=|m|n;

第五步，输出d.

程序框图如图所示.

应用顺序结构表示算法的步骤：

(1)仔细审题，理清题意，找到解决问题的方法.

(2)梳理解题步骤.

(3)用数学语言描述算法，明确输入量，计算过程，输出量.

(4)用程序框图表示算法过程.

练一练

2.写出解不等式2x+1>0的一个算法，并画出程序框图.

解：第一步，将1移到不等式的右边;

第二步，不等式的两端同乘12;

第三步，得到x>-12并输出.

程序框图如图所示：

新课标高二数学教案2021例文4

1.本节课的重点是了解程序框图的含义，理解程序框图的作用，掌握各种程序框和流程线的画法与功能，理解程序框图中的顺序结构，会用顺序结构表示算法.难点是理解程序框图的作用及用顺序结构表示算法.

2.本节课要重点掌握的规律方法

(1)掌握画程序框图的几点注意事项，见讲1;

(2)掌握应用顺序结构表示算法的步骤，见讲2.

3.本节课的易错点

对程序框图的理解有误致错，如讲1.

课下能力提升(二)

[学业水平达标练]

题组1程序框图

1.在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用()

A.连接点B.判断框C.流程线D.处理框

解析：选C流程线的意义是流程进行的方向，一个算法步骤到另一个算法步骤表示的是流程进行的方向，而连接点是当一个框图需要分开来画时，在断开处画上连接点.判断框是根据给定条件进行判断，处理框是赋值、计算、数据处理、结果传送，所以A，B，D都不对.故选C.

2.a表示“处理框”，b表示“输入、输出框”，c表示“起止框”，d表示“判断框”，以下四个图形依次为()

A.abcdB.dcabC.bacdD.cbad

答案：D

3.如果输入n=2，那么执行如下算法的结果是()

第一步，输入n.

第二步，n=n+1.

第三步，n=n+2.

第四步，输出n.

A.输出3B.输出4

C.输出5D.程序出错

答案：C

题组2顺序结构

4.如图所示的程序框图表示的算法意义是()

A.边长为3,4,5的直角三角形面积

B.边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积

C.边长为3,4,5的直角三角形外接圆面积

D.以3,4,5为弦的圆面积

解析：选B由直角三角形内切圆半径r=a+b-c2，知选B.

第4题图第5题图

5.(2016•东营高一检测)给出如图所示的程序框图：

若输出的结果为2，则①处的执行框内应填的是()

A.x=2B.b=2

C.x=1D.a=5

解析：选C∵b=2，∴2=a-3，即a=5.∴2x+3=5时，得x=1.

6.写出如图所示程序框图的运行结果：S=________.

解析：S=log24+42=18.

答案：18

7.已知半径为r的圆的周长公式为C=2πr，当r=10时，写出计算圆的周长的一个算法，并画出程序框图.

解：算法如下：第一步，令r=10.第二步，计算C=2πr.第三步，输出C.

程序框图如图：

8.已知函数f(x)=x2-3x-2，求f(3)+f(-5)的值，设计一个算法并画出算法的程序框图.

解：自然语言算法如下：

第一步，求f(3)的值.

第二步，求f(-5)的值.

第三步，将前两步的结果相加，存入y.

第四步，输出y.

程序框图：

[能力提升综合练]

1.程序框图符号“”可用于()

A.输出a=10B.赋值a=10

C.判断a=10D.输入a=1

解析：选B图形符号“”是处理框，它的功能是赋值、计算，不是输出、判断和输入，故选B.

2.(2016•广州高一检测)如图程序框图的运行结果是()

A.52B.32

C.-32D.-1

解析：选C因为a=2，b=4，所以S=ab-ba=24-42=-32，故选C.

3.(2016•广州高一检测)如图是一个算法的程序框图，已知a1=3，输出的b=7，则a2等于()

A.9B.10

C.11D.12

解析：选C由题意知该算法是计算a1+a22的值.

∴3+a22=7，得a2=11，故选C.

4.(2016•佛山高一检测)阅读如图所示的程序框图，若输出的结果为6，则①处执行框应填的是()

A.x=1B.x=2

C.b=1D.b=2

解析：选B若b=6，则a=7，∴x3-1=7，∴x=2.

5.根据如图所示的程序框图所表示的算法，输出的结果是________.

解析：该算法的第1步分别将1,2,3赋值给X，Y，Z，第2步使X取Y的值，即X取值变成2，第3步使Y取X的值，即Y的值也是2，第4步让Z取Y的值，即Z取值也是2，从而第5步输出时，Z的值是2.

答案：2

6.计算图甲中空白部分面积的一个程序框图如图乙，则①中应填________.

图甲图乙

解析：图甲空白部分的面积为a2-π16a2，故图乙①中应填S=a2-π16a2.

答案：S=a2-π16a2

7.在如图所示的程序框图中，当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，根据该图和各小题的条件回答问题.

(1)该程序框图解决的是一个什么问题?

(2)当输入的x的值为3时，求输出的f(x)的值.

(3)要想使输出的值，求输入的x的值.

解：(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)=-x2+mx的函数值的问题.

(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)=f(4).

因为f(0)=0，f(4)=-16+4m，

所以-16+4m=0，

所以m=4.

所以f(x)=-x2+4x.

则f(3)=-32+4×3=3，

所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.

(3)因为f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4，

所以当x=2时，f(x)max=4，

所以要想使输出的值，输入的x的值应为2.

8.如图是为解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：

(1)图框①中x=2的含义是什么?

(2)图框②中y1=ax+b的含义是什么?

(3)图框④中y2=ax+b的含义是什么?

(4)该程序框图解决的是怎样的问题?

(5)当最终输出的结果是y1=3，y2=-2时，求y=f(x)的解析式.

解：(1)图框①中x=2表示把2赋值给变量x.

(2)图框②中y1=ax+b的含义是：该图框在执行①的前提下，即当x=2时，计算ax+b的值，并把这个值赋给y1.

(3)图框④中y2=ax+b的含义是：该图框在执行③的前提下，即当x=-3时，计算ax+b的值，并把这个值赋给y2.

(4)该程序框图解决的是求函数y=ax+b的函数值的问题，其中输入的是自变量x的值，输出的是对应x的函数值.

(5)y1=3，即2a+b=3.⑤

y2=-2，即-3a+b=-2.⑥

由⑤⑥，得a=1，b=1，

所以f(x)=x+1.

新课标高二数学教案2021例文5

一、教材分析

【教材地位及作用】

基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修5第3章第3节内容。教学对象为高二学生，本节课为第一课时，重在研究基本不等式的证明及几何意义。本节课是在系统的学习了不等关系和掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题奠定基础。因此基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

【教学目标】

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

知识与技能目标：理解掌握基本不等式，理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;

过程与方法目标：通过探究基本不等式，使学生体会知识的形成过程，培养分析、解决问题的能力;

情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

【教学重难点】

重点：理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义。

难点：利用基本不等式推导不等式.

关键是对基本不等式的理解掌握.

二、教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率.

三、学法指导

新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本课主要采取以自主探索与合作交流的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的知识，使学生成为学习的主人。

四、教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

具体过程安排如下：

(一)基本不等式的教学设计创设情景，提出问题

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问题1]请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?(让学生分组讨论)

(二)探究问题，抽象归纳

基本不等式的教学设计1.探究图形中的不等关系

形的角度----(利用多媒体展示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积.)

数的角度

[问题2]若设直角三角形的两直角边分别为a、b,应怎样表示这种不等关系?

学生讨论结果：。

[问题3]大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件?不等式中的等号什么时候成立呢?(师生共同探索)

咱们再看一看图形的变化，(教师演示)

(学生发现)当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即.探索结论：我们得到不等式，当且仅当时等号成立。

设计意图：本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式基本不等式的教学设计。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

2.抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当a=b时，等号成立。

[问题4]你能给出它的证明吗?

学生在黑板上板书。

[问题5]特别地，当时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么?

学生归纳得出。

设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

【归纳总结】

如果a,b都是非负数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。

我们称此不等式为基本不等式。其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。

3.探究基本不等式证明方法：

[问题6]如何证明基本不等式?

设计意图：在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

方法一：作差比较或由基本不等式的教学设计展开证明。

方法二：分析法

要证

只要证2

要证,只要证2

要证,只要证

显然,是成立的。当且仅当a=b时,中的等号成立。

4.理解升华

1)文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2)符号语言叙述：

若，则有，当且仅当a=b时，。

[问题7]怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论，交流看法，师生总结)

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即;

仅当a=b时，取等号，即。

3)探究基本不等式的几何意义：

基本不等式的教学设计借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，

CD⊥AB，AC=a,CB=b，

[问题8]你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?

(教师演示，学生直观感觉)

易证RtACDRtDCB，那么CD2=CA·CB

即CD=.

这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.

因此：基本不等式几何意义可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦(直径是最长的弦);或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.

4)联想数列的知识理解基本不等式

从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义;从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.

[问题9]回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积”的结构?

归纳得出:

均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.

基本不等式的教学设计(四)体会新知，迁移应用

例1：(1)设均为正数，证明不等式：基本不等式的教学设计

(2)如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，设AC=a,CB=b，

，过作交于，你能利用这个图形得出这个不等式的一种几何解释吗?

设计意图：以上例题是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式成立的条件，及当且仅当时，等号成立。这里完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

(五)演练反馈，巩固深化

公式应用之一：

1.试判断与与2的大小关系?

问题：如果将条件“x>0”去掉，上述结论是否仍然成立?

2.试判断与7的大小关系?

公式应用之二：

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

(1)用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相加后除以2就可以了.你觉得这种做法比实际重量轻了还是重了?

(2)甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销.甲商场采取的促销方式是在原价p折的基础上再打q折;乙商场的促销方式则是两次都打折.对顾客而言，哪种打折方式更合算?(0

≠q)

(五)反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获?取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教?

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力;帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.从各种角度对均值不等式进行总结，目的是为了让学生掌握本节课的重点，突破难点

老师根据情况完善如下：

知识要点：

(1)重要不等式和基本不等式的条件及结构特征

(2)基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义

思想方法技巧：

(1)数形结合思想、“整体与局部”

(2)归纳与类比思想

(3)换元法、比较法、分析法

(七)布置作业，更上一层

1.阅读作业:预习基本不等式的教学设计

2.书面作业:已知a，b为正数，证明不等式基本不等式的教学设计

3.思考题:类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式?

设计意图：作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，同时考虑学生的差异性。阅读作业是后续课堂的铺垫，而思考题不做统一要求，供学有余力的学生课后研究。

五、评价分析

1.在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。

2.本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解。“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的。

六、板书设计

§3.3基本不等式

一、重要不等式

二、基本不等式

1.文字语言叙述

2.符号语言叙述

3.几何意义

4.代数解释

三、应用举例

例1.

四、演练反馈

五、总结归纳