高三期末文科数学试题及答案

高三期末文科数学试题及答案（最新）

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高三期末文科数学试题及答案

(考试时间120分钟 满分150分)

本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.

1.已知集合A{1,0,1},B{x1x1}，则AIB=

A.{0,1}

B.{1,0} C.{0} D.{1,0,1}

2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是

A.f(x)

3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i值为

A.3 B.4 C.5 D.6

第3题图

4.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 B.f(x)1 C.f(x)ex D.f(x)sinx x

1

A.30辆 B.300辆

C.170辆 D.1700辆

频率 km/h)

第 4题图

5. 已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，且m，n,则下

列说法正确的是

A.若//，则m//n B.若m，则

C.若m//，则// D.若，则mn

6.设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且与y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为

A.y24x B. y24x C. y28x D. y28x

7. 已知A,B为圆C:(xm)(yn)9(m,nR)上两个不同的点(C为圆心)，且满

足|CACB|，则AB 222

A. 23 B. C. 2 D. 4

8. 设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意xD，当xmD时，都有f(xm)f(x)，则称f(x)为D上的“m型增函数”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)xaa(aR)，若f(x)为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是

A. a0 B. a20 C. a10 D. a5

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9.计算:i(1i) (i为虚数单位).

y2

10. 双曲线x1的渐近线方程为 3

111. 在ABC中，若BC1，AC2，cosC，则ABsinA. 42

2x

y

0112.已知正数x，y满足约束条件，则z()2xy的最小值为. 2x3y50

13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是.

俯视图

侧视图

第13题图

14. 在ABC中，ABAC，D为线段AC的中点，若BD的长为定值l，则ABC 面积的值为 (用l表示).

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. (本小题满分13分)

已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1b13，a2b214，a3a4a5b3.

(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(Ⅱ)设cnanbn,nN_，求数列{cn}的前n项和.

16. (本小题满分13分)

已知函数f(x)cos2_cosxa的图象过点(,1).

(Ⅰ)求实数a的值及函数f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求函数f(x)在[0,]上的最小值. 617. (本小题满分13分)

某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组.现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同).

(Ⅰ)求选出的2人都是女同学的概率;

(Ⅱ)设 “选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N发生的概率.

18. (本小题满分14分)

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.

(Ⅰ)求证：AB∥EF;

(Ⅱ)若PAAD，且平面PAD平

面ABCD，试证明AF平面PCD;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，线段PB上是否存在点 AM,使得EM平面PCD?(直接给出结论，不

需要说明理由)

19. (本小题满分13分)

k2x，kR. x

(Ⅰ)当k1时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(Ⅱ)当ke时，试判断函数f(x)是否存在零点,并说明理由;

(Ⅲ)求函数f(x)的单调区间. 已知函数f(x)(2k1)lnx

20. (本小题满分14分)

已知圆O:xy1的切线l与椭圆C:x3y4相交于A，B两点.

(Ⅰ)求椭圆C的离心率;

(Ⅱ)求证:OAOB;

(Ⅲ)求OAB面积的值.

2222

北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试

数学答案(文史类) 2016.1

一、选择题：(满分40分)

4

二、填空题：(满分30分)

(注：两空的填空，第一空3分，第二空2分)

三、解答题：(满分80分)

15. (本小题满分13分)

解:(Ⅰ)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，且q0.

依题意有，

a1db1q14, 23(a3d)bq.11

由a1b13,又q0，

解得q3, d2.

所以ana1(n1)d32(n1)2n1,即an2n1,nN.

bnb1qn133n13n,nN. „„„„„„„„„„„„„„„7分 (Ⅱ)因为cnanbn2n13n,

所以前n项和Sn(a1a2an)(b1b2bn) 

(352n1)(31323n)

n

(32n1)3(13n)  213

3 n(n2)(3n1). 2

所以前n项和Snn(n2)

16. (本小题满分13分)

解：(Ⅰ)由f(x)cos2_cosxa 3n(31),nN_.„„„„„„„„„„„„13分 21cos2xa 25sin(2x)

61

a. 2

6

11

所以f()sin(2)a1.解得a.

66622

函数f(x)的最小正周期为. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

因为函数f(x)的图象过点(,1)， (Ⅱ)因为0x

，所以2x. 2



则sin(2x).



1

所以当2x，即x时，函数f(x)在[0,]上的最小值为. „„„„„13分

22

17.(本小题满分13分)

解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为A，B，C，女同学分别记为

X，Y，Z.

从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为：

{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}， {C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15个. „„„„„4分 (Ⅰ)设“选出的2人都是女同学”为事件M，

则事件M包含的基本事件有{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共3个， 所以，事件M发生的概率 P(M)(Ⅱ)事件N包含的基本事件有

{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6个， 所以，事件N发生的概率 P(N)

31

.„„„„„„„„„„„„„„8分 155

62

. „„„„„„„„„„„„„„13分 155

18. (本小题满分14分)

(Ⅰ)证明：因为底面ABCD是正方形， 所以AB∥CD.

又因为AB平面PCD，CD平面PCD， 所以AB∥平面PCD.

又因为A,B,E,F四点共面，且平面

ABEF平面PCDEF，

所以AB∥EF.„„„„„„„„5分 (Ⅱ)在正方形ABCD中，CDAD.

6

第6 / 10页

又因为平面PAD平面ABCD， 且平面PAD平面ABCDAD，

所以CD平面PAD.

又AF平面PAD 所以CDAF. 由(Ⅰ)可知AB∥EF，

又因为AB∥CD,所以CD∥EF.由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点. 在△PAD中，因为PAAD，所以AFPD.

又因为PDCDD，所以AF平面PCD.„„„„„„„„„„„„„11分 (Ⅲ)不存在. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

19. (本小题满分13分)

解：函数f(x)的定义域：x(0,).

2k1k2x2(2k1)xk(xk)(2x1)

f(x)22. 22

__1

2x. x

(x1)(2x1)

f(x). 2

x

(Ⅰ)当k1时，f(x)lnx

有f(1)ln1123，即切点(1,3)，

kf(1)

(11)(21)

2. 2

1

所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处切线方程是y32(x1)，

即y2x1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

(Ⅱ)若ke，f(x)(2e1)lnx

f(x)

e

2x. x

(xe)(2x1)

.

x2

令f(x)0，得x1e(舍)，

x2

1

. 7

第7 / 10页

11e1

则f(x)minf()(2e1)ln22(1ln2)eln210.

2212

2

所以函数f(x)不存在零点. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

(xk)(2x1)

.

x2

当k0，即k0时，

(Ⅲ) f(x)

当

0k

11

，即k0时， 当k

，即k时， 22 当k

11

，即k时，

22

8

第8 / 10页

综上，当k0时，f(x)的单调增区间是(,);减区间是(0,).

1212

111k0时，f(x)的单调增区间是(0,k),(,);减区间是(k,). 2221

当k时，f(x)的单调增区间是(0,);

211

当k时，f(x)的单调增区间是(0,)，(k,);

22

1

减区间是(,k). „„„„„„„„„„„13分

2

当

20. (本小题满分14分)

2

解：(Ⅰ)由题意可知a4，b

2

48222

，所以cab. 33

所以e

c.所以椭圆C的离心率为 „„„„„„„„„„3分 

a33

(Ⅱ)若切线l的斜率不存在，则l:x1.

x23y21中令x1得y1. 在44



不妨设A(1,1),B(1,1)，则OAOB110.所以OAOB.

同理，当l:x1时，也有OAOB. 若切线l的斜率存在，设l:ykxm1，即k21m2.

由

ykxm222

，得(3k1)x6kmx3m40.显然0. 22

x3y4

6km3m24

设A(x1,y1)，B(x2,y2),则x1x22，x1x2.

3k13k21

所以y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2km(x1x2)m.

2

2

22

所以OAOBx1x2y1y2(k1)x1x2km(x1x2)m

9

第9 / 10页

3m246km

(k1)2km2m2

3k13k1

2

(k21)(3m24)6k2m2(3k21)m2

 2

3k1

4m24k244(k21)4k240. 22

3k13k1

所以OAOB.

综上所述，总有OAOB成立. „„„„„„„„„„„„„„„„„„9分

(Ⅲ)因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为OAB的高. 当l的斜率不存在时，由(Ⅱ)可知AB2.则SOAB1. 当l的斜率存在时，由(Ⅱ)可知，

AB



 2

3k

1



 4(1k2)(9k21)4(9k410k21)4k2

所以AB4(14)

(3k21)29k46k219k6k21

2

k216416

44

4164

19k6k21332

9k26

k

(当且仅当k时，等号成立).

所以ABmax

, (SOAB)max.

时，

OAB面积的值为.„„„„14分 33

综上所述，当且仅当k

怎样学好数学的技巧

1、认真“听”的习惯。

为了教和学的同步，教师应要求学生在课堂上集中思想，专心听老师讲课，认真听同学发言，抓住重点、难点、疑点听，边听边思考，对中、高年级学生提倡边听边做听课笔记。

2、积极“想”的习惯。

积极思考老师和同学提出的问题，使自己始终置身于教学活动之中，这是提高学习质量和效率的重要保证。学生思考、回答问题一般要求达到：有根据、有条理、符合逻辑。随着年龄的升高，思考问题时应逐步渗透联想、假设、转化等数学思想，不断提高思考问题的质量和速度。

3、仔细“审”的习惯。

审题能力是学生多种能力的综合表现。教师应要求学生仔细阅读教材内容，学会抓住字眼，正确理解内容，对提示语、旁注、公式、法则、定律、图示等关键性内容更要认真推敲、反复琢磨，准确把握每个知识点的内涵与外延。建议教师们经常进行“一字之差义差万”的专项训练，不断增强学生思维的深刻性和批判性。

4、独立“做”的习惯。

练习是教学活动的重要组成部分和自然延续，是学生最基本、最经常的独立学习实践活动，还是反映学生学习情况的主要方式。教师应教育学生对知识的理解不盲从优生看法，不受他人影响轻易改变自己的见解;对知识的运用不抄袭他人现成答案;课后作业要按质、按量、按时、书写工整完成，并能作到方法最佳，有错就改。

5、善于“问”的习惯。

俗话说：“好问的孩子必成大器”。教师应积极鼓励学生质疑问难，带着知识疑点问老师、问同学、问家长，大力提倡学生自己设计数学问题，大胆、主动地与他人交流，这样既能融洽师生关系，增进同学友情，又可以使学生的交际、表达等方面的能力逐步提高。

6、勇于“辩”的习惯。

讨论和争辩是思维最好的媒介，它可以形成师生之间、同学之间多渠道、广泛的信息交流。让学生在争辩中表现自我、互相启迪、交流所得、增长才干，最终统一对真知的认同。

7、力求“断”的习惯。

民族的创新能力是综合国力的重要表现，因此新大纲强调在数学教学中应重视培养学生的创新意识。教师应积极鼓励学生思考问题时不受常规思路局限，乐于和善于发现新问题，能够从不同角度诠释数学命题，能用不同方法解答问题，能创造性地操作或制作学具与模型。

8、提早“学”的习惯。

从小学生认识规律看，要获得良好的学习成绩，必须牢牢抓住预习、听课、作业、复习四个基本环节。其中，课前预习教材可以帮助学生了解新知识的要点、重点、发现疑难，从而可以在课堂内重点解决，掌握听课的主动权，使听课具有针对性。随着年级的升高、预习的重要性更加突出。

9、反复“查”的习惯。

培养学生检查的能力和习惯，是提高数学学习质量的重要措施，是培养学生自觉性和责任感的必要过程，这也是新大纲明确了的教学要求。练习后，学生一般应从“是否符合题意，计算是否合理、灵活、正确，应用题、几何题的解答方法是否科学”等几个方面反复检查验算。

10、客观“评”的习惯。

学生客观地评价自己和他人在学习活动中的表现，本身就是一种高水平的学习。只有客观地评价自己、评价他人，才能评出自信，评出不足，从而达到正视自我、不断反思、追求进步的目的，逐步形成辩证唯物主义认识观。

11、经常“动”的习惯。

数学知识具有高度的抽象性，小学生的思维带有明显的具体性，所以新大纲强调应重视从学生的生活经验中学习理解数学，加强实践能力的培养。在教学中，教师应强调学生手脑并用，以动促思，对难以理解的概念通过举实例加以解决，对较复杂的应用题通过画图找到正确的解答方法，对模糊的几何知识通过剪剪拼拼或实验达到投石问路的目的。

12、有心“集”的习惯。

学生在学习活动中犯错并不可怕，可怕的是同一问题多次犯错。为避免同一错误经常犯，有责任民的教师在教室里布置了错会诊专栏，有心计的学生建立错误的知识档案，将平时练习或考试中出现的错题收集在一起，反复警示自己，值得提倡。

13、灵活“用”的习惯。

学习的目的在于应用，要求学生在课堂上学到的知识加以灵活运用，既能起到巩固和消化知识的作用，又有利于将知识转化成能力，还能达到培养学生学习数学的兴趣的目的。

学好数学的几条建议

1、要有学习数学的兴趣。“兴趣是最好的老师”。做任何事情，只要有兴趣，就会积极、主动去做，就会想方设法把它做好。但培养数学兴趣的关键是必须先掌握好数学基础知识和基本技能。有的同学老想做难题，看到别人上数奥班，自己也要去。如果这些同学连课内的基础知识都掌握不好，在里面学习只能滥竽充数，对学习并没有帮助，反而使自己失去学习数学的信心。我建议同学们可以看一些数学名人小故事、趣味数学等知识来增强学习的自信心。

2、要有端正的学习态度。首先，要明确学习是为了自己，而不是为了老师和父母。因此，上课要专心、积极思考并勇于发言。其次，回家后要认真完成作业，及时地把当天学习的知识进行复习，再把明天要学的内容做一下预习，这样，学起来会轻松，理解得更加深刻些。

3、要有“持之以恒”的精神。要使学习成绩提高，不能着急，要一步一步地进行，不要指望一夜之间什么都学会了。即使进步慢一点，只要坚持不懈，也一定能在数学的学习道路上获得成功!还要有“不耻下问”的精神，不要怕丢面子。其实无论知识难易，只要学会了，弄懂了，那才是最大的面子!

4、要注重学习的技巧和方法。不要死记硬背一些公式、定律，而是要靠分析、理解，做到灵活运用，举一反三。特别要重视课堂上学习新知识和分析练习的时候，不能思想开小差，管自己做与学习无关的事情。注意力一定要高度集中，并积极思考，遇到不懂题目时要及时做好记录，课后和同学进行探讨，做好查漏补缺。

5、要有善于观察、阅读的好习惯。只要我们做数学的有心人，细心观察、思考，我们就会发现生活中到处都有数学。除此之外，同学们还可以从多方面、多种渠道来学习数学。如：从电视、网络、《小学生数学报》、《数学小灵通》等报刊杂志上学习数学，不断扩展知识面。

6、要有自己的观点。现在，大部分同学遇到一些较难或不清楚的问题时，就不加思考，轻易放弃了，有的干脆听从老师、父母、书本的意见。即使是老师、长辈、书籍等权威，也不是没有一点儿失误的，我们要重视权威的意见，但绝不等于不加思考的认同。

7、要学会概括和积累。及时总结解题规律，特别是积累一些经典和特殊的题目。这样既可以学得轻松，又可以提高学习的效率和质量。

8、要重视其他学科的学习。因为各个学科之间是有着密切的联系，它对学习数学有促进的作用。如：学好语文对数学题目的理解有很大的帮助等等。