狭义相对论中的引力场

　　　　狭义相对论是一个严密，完善，自恰，普适的理论。过去不少学者，由于理解不深，以及残留经典力学概念的影响，对其作了很多保留和限制。例如说，认为狭义相对论只适用于匀速运动，而不适用于加速运动。大量的所谓佯谬出现在讨论狭义相对论的理论书、教科书和科普读物中。不少书中说，双生子佯谬中有加速运动，狭义相对论不能解决等等。作者认为，任何所谓佯谬都是由于对狭义相对论理解不深，以及残留经典力学概念产生的。在洛伦兹协变性和不变性方面，也存在很多错误的认识。由于牛顿引力定律经洛伦兹变换后会改变其形式，被错误地认为，不符合狭义相对论。

　　1.相对性原理，洛伦兹协变性和不变性

　　相对性原理，洛伦兹协变性和洛伦兹不变性是三个不同的概念。相对性原理是一个公理性的基本原理，是指所有惯性参考系等效，物理规律相同。或者说，所有惯性参考系对物理规律是平权的，无特殊的。判断一个物理方程成立，必须满足相对性原理。即在所有惯性参考系中,可建立相同的物理方程。

　　洛伦兹协变性是指一个物理量，或物理方程进行洛伦兹变换的可行性。是判断该物理量，或物理方程与狭义相对论是否相容的判据。具有洛伦兹协变性的物理量，或物理方程是与狭义相对论相容的，否则是不相容的。在狭义相对论中，所有物理量都必须可表示为四维张量或其分量，才可进行洛伦兹变换。四维张量包括：四维标量(零阶张量)、四维矢量(一阶张量)、四维二阶张量等等。

　　洛伦兹不变性是指，四维形式的物理量或方程，经洛伦兹变换后形式不变。完整的四维张量经洛伦兹变换后，仍然是四维张量，其形式不变。各分量可组合成一定的不变量，但各个分量会发生改变。完整的四维矢量经洛伦兹变换后，仍然是四维矢量形式不变。各分量组合成的模值是不变量，但各个分量会发生改变。四维标量是不变量，经洛伦兹变换后仍然是四维标量形式不变，其数值也不变。

　　如果物理方程中的物理量不是完整的四维张量，仅以分量的形式出现，仍可对其进行洛伦兹变换，但变换后会改变方程的形式。例如电磁场的标势是三维标量，它是四维势矢量的时间分量，经洛伦兹变换后数值和形式都会变。又例如电场E是四维二阶反对称张量的分量，经洛伦兹变换后，会出现磁场H，数值和形式都会改变。作用力F，矢径r都是四维矢量的三维分量，可进行洛伦兹变换,变换后会改变形式。

　　库伦定律是与狭义相对论相容的，但由于力F和矢径r都是四维矢量的三维分量，洛伦兹变换后会改变方程的形式。正是这种改变，运动电荷周围会产生磁场。电场和磁场互相关联，这是狭义相对论的必然结果。经典的电磁场理论中，库伦定律和毕奥-萨伐尔定律是两个完全独立的定律。狭义相对论在二者之间建立了联系，可以从库伦定律导出毕奥-萨伐尔定律。

　　牛顿引力定律与库伦定律结构上完全一样，可对其进行洛伦兹变换，是与狭义相对论相容的。可以直接纳入狭义相对论，作为引力理论的出发点。但由于力F和矢径r都是四维矢量的三维分量，洛伦兹变换后会改变方程的形式。正是这种改变，可以从牛顿引力定律导出一条新的规律。当物质运动时，引力场并不是单一的三维矢量形式，在物质周围可产生一种类似于磁场的场，称为动引力场。引力场与动引力场形成一对场，二者互相关联，合起来称为引动场，构成反对称二阶四维张量形式。动引力场的力学效应类似于电学中的洛仑兹力，可对其它运动物体产生作用力。在天体运动中考虑到它的作用后，对牛顿引力是一种修正。

　　2. 牛顿引力定律和引力场

　　牛顿万有引力定律可表示为三维矢量方程：

　　其中：G ——引力常数，在国际单位制中，G=6.673×10-11 m3 kg-1s-2。在CGS单位制中，G=6.673×10-8cm3 g -1s-2。两质点的质量分别为M和m,，F是m受到M的引力。

　　或r是由M指向m的矢径，负号表示r与F的方向相反。

　　为避免超距作用，可认为引力是通过引力场传递的。一个质量为M的质点，在矢径r处产生的引力场g为：

　　引力场不仅表示周围空间的某些性质，其本身也是一种物质。在引力场g中，质点m受到的力F可表为：

　　F=-mg (3)

　　因为引力为同性相吸，F与g反向，引力场g的单位与加速度的单位相同。

　　3. 牛顿引力定律经洛仑兹变换导出动引力场

　　经典的牛顿引力定律，只有单一的引力场，没有类似于磁场的动引力场。对牛顿引力定律进行洛仑兹变换，可导出动引力场，证明如下：

　　设两惯性系 S (x, y, z, ct)和 S’(x’,y’, z’, ct’)，各坐标轴相互平行。S’相对于S系，沿 x 轴正向以匀速 v 运动，当两系原点重合时，t=t’=0。以S系为观察系，两系时空坐标的关系，即洛伦兹变换式为：

　　设质量为M和m的两质点相对于S’系静止，质量为M的质点位于S’系原点，质量为m的质点位于S’系矢径r’所指位置(x’,y’,z’)。在S’系中，牛顿引力定律可写为：

　　其中：r’=(x’2+y’2+z’2)1/2为两质点之间的距离。作用力F ’的各分量为：

　　常数G，质量M，m为不变量。F ’和r’是在S’系中得到的，需分别变换到S系中的F和r。以S’系为观察系，由F ’变换到F，作用力的洛仑兹变换式为：

　　以S系为观察系，r’与r的变换关系，可用洛伦兹变换式 (4)，当t = t’ =0时：

　　(7)、(8)两式代入(6)式，可得：

　　其中：

　　，是r’在S系中的变换值。三个分量式可合并写成三维矢量形式：

　　其中：ex, ey, ez分别为x, y, z各方向的单位矢量。因速度 v沿 x 方向，v=vex，(v ·r)=vx。于是上式等号最右边方括号中第二项可表示为：

　　其中引用了矢量代数公式：(a ·b)a-a2b=a×(a×b)。于是(10)式可改写为：

　　上式可改写为：

　　上式方括号中第一项是，质点M以匀速 v运动，在矢径r处产生的引力场g：

　　对低速情况，与(2)式一致。对比(11)，(12)两式，可定义质点M以匀速v运动，在矢径r处产生的动引力场gm：

　　对低速情况，上式可表示为：

　　对比(2)式和(15)式，可看出动引力场与引力场具有相同的量纲和单位，但相同场源的动引力场比引力场的量级小v/c倍。

　　(12)式中的F是质点m在S系中以匀速v运动时，在引力场g和动引力场gm的共同作用下受到的合力。由此式还可看出，动引力场比相同量级引力场的作用力小v/c倍。由前知，相同场源的动引力场比引力场的量级小v/c倍，综合起来相同场源的动引力比静引力小v2/c2倍。在天体运动中，考虑到动引力场的力学效应后，对牛顿引力应是一种修正。在低速运动时这个修正量很小，为v2/c2量级。

　　经典的牛顿引力定律，只有单一的引力场，没有类似于磁场的场。纳入狭义相对论，在进行洛伦兹变换时，方程的形式会发生改变。正是这种改变，可以从牛顿引力定律导出一条新的定理：“当物质运动时，在周围还可产生一种类似于磁场的场，可对其它运动物体产生作用力，称为动引力场。引力场与动引力场形成一对场，合起来称为引动场。引力场与动引力场互相关联，这是狭义相对论的必然结果。

　　为什么磁场很早就被发现，而动引力场没有及早被发现呢?那是因为电磁场比引动场强得多，磁场容易被发现。又因为电荷运动的速度很快，产生的磁场较强。物体的运动较慢，动引力比静引力小v2/c2倍，因此动引力不易被发现。此外，在自然界存在铁磁性物质，磁力可加大很多倍，磁场容易被发现。