关于圆和三角形的定理
关于圆和三角形的定理整理
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中考数学：三角形内切圆
1、定义。
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。如图1所示点O为三角形ABC的内心，圆O为三角形ABC的内切圆。
2、作法
利用角平分线上的点到两边的距离相等这一性质来作图，
第一步：作出三角形ABC三个角的角平分线，相交于点O(作出两个角的角平分线即可);
第二步：过点O做边BC的垂线，交BC于点E;
第三步：以点O为圆心，OE为半径，作出的圆O即为△ABC的内切圆。
3、性质
在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等,且大小等于三角形内切圆的半径。
中考数学：垂径定理和三点作圆
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
1、垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。如下图所示，CD为⊙O的直径，且垂直于弦AA',垂足为M，可以得到下列结论：
2、推理1
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。
3、推理2
圆两条平行弦所夹的弧相等。
4、过不共线三点的圆
过不共线三点的圆的作法：利用中垂线找圆心。如下图，利用A、B、C三点做圆，分别作出线段AB、BC、CA的中垂线，相交于点O，则点O为所做圆的圆心(实际做题过程中，做两条线段的中垂线即可)，OA为圆O的直径。
4、定理
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
6、相关概念
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。
中考数学：等腰三角形的性质定理
1、等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
2、推论1：
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。即：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高三线互相重合。
例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等。
3、推论2：
练习题
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°，即等边三角形是特殊的等腰三角形
1、判断题：等腰三角形的底角一定是锐角 ( )。
2、若等腰三角形的一个角是50°,则这个等腰三角形的底角为( )。
3、等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°,则其顶角的大小为( )。
4、如图,∠ABC=50°,∠ACB=80°,延长CB到D,使BD=AB,延长BC到E,使CE=CA,连接AD.AE,求∠DAE的大小。
练习题答案
1、对。解析：等腰三角形两底角相等,如果两底角≥90°,其和就≥180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故等腰三角形的底角一定为锐角。
2、50°或65°。解析：所给的角可能是顶角，也可能是底角。
3、40°。解析：数形结合的思想来解题。
4、解析：∵∠ABC=50°,∠ACB=80°
∴∠BAC=180°-50°-80°=50°
∵BD=AB,∠ABC=50°
∴∠DAB=∠D=25°
同理:∠EAC=40°
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=115°