数学难题的思路和方法(2)

下面2张照片，是初中数学教材对整数指数幂的介绍：

高中数学里，对5的n次方还要进一步发展：这个指数n如果是分数呢?再进一步，这个指数n如果是无理数呢?这时，如何理解与计算?尤其是这个指数n为无理数的情况，对5的n次方或n次幂，到底是什么意思，到底怎么计算，计算出来是个什么值，理解起来有相当的难度。

在人类第一次发现无理数时，曾经产生了数学危机。人们对整数和分数很熟悉，但无法理解无理数到底是个什么样的数。也许正因为这样，人们把当时还不能完全理解的无限不循环小数取名为无理数，把很熟悉的整数和分数统称为有理数。其实，现在人们已经把无理数研究得很清楚了：无理数是客观存在的“有理”的数，并不是“无理”的数。比如说，人类能够把无理数圆周率π证明得很清楚，并且通过计算机，把π的小数位数精确到了10万亿位。

初中时通过学习勾股定理，了解与接受了无理数，从而把数的概念从有理数扩展到了实数(实数包括有理数和无理数)。虽然对无理数在理解上有点难度，但跨过这个难度不是太难。后来，在学习直角坐标系、一次函数、反比例函数、二次函数时，自变量和因变量都是在实数范围内研究问题。

高中数学要学习指数函数，那个指数就是自变量x，x是在实数(实数包括有理数和无理数)范围内定义的，所以，对于指数是分数和无理数的情况，就要理解是什么意思，有什么样的计算规则，为什么是这样的一些计算规则。这个理解的难度，比单纯理解无理数要明显难多了。类似这样的问题很多，所以，高中数学在难度上的增加，主要是理解与思考起来达到了相当高的难度。

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