分式方程的解答分析与指导

　　编者按：分式方程的特点，就是分母中含有未知数。如果掌握了去分母的方法，那么就能把分式方程转化为整式方程，初中数学中一般是转化为一元一次方程。不妨与作者一起看看如何解题吧。

　　进一步，如果从普遍的转化思想方法来理解分式方程的转化过程，那么就一定能取得更大的收获：从学习方法上有新的理解，从研究数学问题的方法上有新的认识，对以后的数学学习产生良好影响，从而可以学的既轻松、又有效。

　　现在，通过3个例子，我们具体说明一些细节和有关问题。每个例题后面有小结，最后还有总结。

　　小结：去分母时一定要理解好、运用好最简公分母的概念，只要将分式方程两边同时乘以最简公分母，就能约去所有的分母，从而达到去分母的目的。这时要理解，这样做就是运用了等式的基本性质：等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，等式仍然成立。

　　小结1：通过第一种解法，我们看到，分式方程去分母转化为整式方程后，还可能是一元二次方程。有的一元二次方程，像本题一样，可通过分解因式的方法，转化为两个一元一次方程来求解。当然，即使是出现了比较复杂的一元二次方程，也能通过公式法求解，或运用配方法，即先配方再开方降次的方法，转化为一元一次方程来求解。

　　小结2：通过第二种解法，我们看到，在解方程过程中，及时发现方程的特点，并利用这些特点进行及时化简的重要性、必要性。这样做，往往使问题解决得既巧又快。

　　小结3：解分式方程有出现增根的可能，比解整式方程多一个检验步骤。产生增根的原因，是将分式方程去分母时造成的。根据等式的性质：等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，等式仍然成立，所以方程两边不能同时乘以或除以零。在去分母的过程中，如果有某个值使所乘整式为零，这个值还恰好是最后求出来的解，那就产生了增根。

　　小结4：增根虽然不是原分式方程的根，但一定是由分式方程化成的整式方程的根。增根就是使原分式方程的最简公分母为零的根。所以，使原分式方程的最简公分母不为零的根才是原分式方程的根。

　　总结1

　　初中学生新学到分式方程时，要解决好3个问题：一是要理解分式方程的概念，即什么是分式方程?这个不难，但有不少学生忽视概念的学习，短时间问题不大，时间一长就会造成越积越严重的问题。二是要掌握去分母的方法，这个也不难，但有些学生代数运算的基本功不够好，导致错误，需要在基本功和细心方面多下功夫。三是要理解产生增根的过程和原因，就是为什么会产生增根?这个稍难，要通过解分式方程的步骤和过程来体会，要对等式基本性质有很好的理解，要很好的明白每做一步的数学道理。在此基础上，要养成验根的习惯。

　　总结2

　　学分式方程时，要上升到数学思想方法的层面来理解问题、思考问题。转化是数学中普遍的思想方法，一旦理解掌握了转化的思想方法，那么在学习数学与研究数学中将会前进一大步。所以，学分式方程时，怎么能放弃在数学思想方法层面的学习探究?分式方程就是通过去分母的方法，转化为熟悉的一元一次方程的。同理，一元二次方程就是通过降次(先配方、再开方或分解因式)的方法，转化为熟悉的一元一次方程的;二元一次方程组就是通过消元(代入法、加减法)的方法，转化为熟悉的一元一次方程的。对这个问题，以下总结3继续。

　　总结3

　　在数学中，经常将新问题转化为老问题，将难的问题转化为容易的问题，将未知的问题转化为已经的问题，从而使新问题、难问题、未知问题得到解决的。我们在小学时要学好基础，因为很多初中数学问题是通过转化成小学数学问题而最终得到解决的。同理，我们在初中时要学好基础，因为很多高中数学问题是通过转化成初中数学问题而最终得到解决的。有时，几何问题遇到难处，想办法转化成代数问题而得到解决。反过来，有时代数问题遇到难处，也可以想办法转化成几何问题而得到解决。

　　作者|裴连学

　　公众号：摄与学

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